ДВИ МГУ 2024 по математике. 4 поток.
Задача 1:
Дана функция:
$$ƒ(x)=\frac{(x+1)^2+x^2}{(x+1)^2-x^2}$$
Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа ƒ (2024).
Задача 2:
Вычислите сумму:
$$\frac{11}{1+2}+\frac{11}{1+2+3}+\frac{11}{1+2+3+4}~+$$$$+…+~\frac{11}{1+2+…+10}$$
Задача 3:
Решите неравенство:
$$log_9\left(x+ \frac{1}{3}\right)-log_3\left(x-\frac{1}{3}\right)\ge 1$$
Задача 4:
Решите уравнение:
$$cos~2x+\frac{tg~x{\cdot}tg~2x}{2}=1$$
Задача 5:
В окружность Ω вписан четырехугольник ABCD. На стороне ВС отмечена точка Е таким образом, что CD = CE = 1 и ∠AED = 30°. Найдите радиус окружности Ω, если известно, что ∠ACD = 25° и ∠ACB = 75°
Задача 6:
Многочлен ƒ(x) второй степени имеет действительные коэффициенты. Попарно различные действительные числа a, b, c удовлетворяют условиям ƒ(a) = bc, ƒ(b) = ca, ƒ(c) = ab. Найдите все возможные значения выражения:
$$\frac{ƒ(a)+ƒ(b)+ƒ(c)}{ƒ(a+b+c)}$$
при условии, что ƒ(a + b + c) ≠ 0
Задача 7:
Дан куб со стороной 1, основаниями ABCD, A′B′C′D′ и боковыми ребрами AA′, BB′, CC′ и DD′. На ребрах A′B′, B′B, BC, CD, DD′, D′A′ отмечены точки K, L, M, N, O, P соответственно. Найдите отношение, в котором плоскость КМО делит объем куба, если известно, что A′AK = LAK, BAM = NAM, DAO = PAO и что A′K + LB = BM + ND = DO + PA′ = 5/4.
Ответы:
1) 2024; 2) 9; 3) $\left( \frac{1}{3};\frac{2}{3} \right]$; 4) $\pi{n};~\pm\frac{\pi}{6}+\pi{n};~n\in{Z}$; 5) 1; 6) 1; 7) 1 : 1.