ДВИ МГУ 2024 по математике. 6 поток.
Задача 1:
Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа:
$$log_2(3+2\sqrt{2})-log_2(1+2\sqrt{2})$$
Задача 2:
Найдите количество всех упорядоченных четверок чисел a, b, c, d, таких что числа a2 – ab + b2, b2 – bc + c2, c2 — cd + d2 равны друг другу, если известно, что каждое из чисел a, b, c, d, равно либо 1, либо 2, либо 3, а число а является среди них наибольшим.
Задача 3:
Решите неравенство:
$$log_{x-1}(2x-5)+log_{4x^{2}-20x+25}(x^2-2x+1)-$$$$-log_{2x-5}(4x^2-20x+25)\le 0$$
Задача 4:
Решите уравнение:
$$tg~x-4sin~x=\sqrt3$$
Задача 5:
В треугольнике ABC угол А является тупым. На стороне ВС отмечена точка D таким образом, что AC = CD. При этом окружность, описанная около треугольника ACD, касается прямой AB в точке А. На прямой AD отмечена точка Е таким образом, что СЕ = ЕА = АВ. Найдите отношение ВС : АВ.
Задача 6:
Многочлен ƒ(x) = x4 — 12x3 + ax2 + bx + 81 с действительными a и b допускает разложение ƒ(x) = (x — c1)(x — c2)(x — c3)(x — c4) с некоторыми действительными c1, c2, с3, с4. Найдите все возможные значения ƒ(5).
Задача 7:
Расстояние от середины высоты правильной четырехугольной пирамиды до боковой грани равно $\sqrt2$, а до бокового ребра — $\sqrt3$. Найдите объем пирамиды.
Ответы:
1) 2; 2) 8; 3) $x\in \left( \frac{5}{2};3\right)\cup \{ 4 \}$; 4) $-\frac{\pi}{3}+2\pi{k}; \frac{4\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}m~~~k,m\in Z$; 5) $\sqrt{2}$; 6) 16; 7) $32\sqrt{6}$.