Формулы по математике для ОГЭ, ЕГЭ и ДВИ
Здесь представлены необходимые формулы и теоремы по профильной математике для успешного прохождения таких экзаменов как ОГЭ, ЕГЭ и ДВИ.
ОГЭ - основной государственный экзамен
Это обязательные экзамены в 9 классе, их сдача необходима для перехода в старшую школу или для дальнейшего поступления в учебные учреждения.
ЕГЭ - единый государственный экзамен
Эти экзамены проводят в 11 классе. Они являются выпускными экзаменами в школе и основными вступительными экзаменами в вузы.
ДВИ - дополнительные вступительные испытания.
Это дополнительные вступительные испытания, которые сдают абитуриенты для поступления в вузы России.
Формулы для ОГЭ
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Степени
Формулы сокращенного умножения
Квадрат суммы:
$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$
Квадрат разности:
$$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$
Разность квадратов:
$$ a^2-b^2=(a+b)(a-b) $$
Сумма кубов:
$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$
Разность кубов:
$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $$
Формулы для ЕГЭ
Логарифмы
Свойства логарифмов (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0):
$$ 1)~log_a~a=1 $$
$$ 2)~log_a~1=0 $$
$$ 3)~log_a~b+log_a~c=log_a~(b\cdot c) $$
$$ 4)~log_a~b-log_a~c=log_a~\frac{b}{c} $$
$$ 5)~log_a~b^p=p\cdot log_a~b $$
$$ 6)~log_{a^q}~b=\frac{1}{q}\cdot log_a~b,~q\neq 0 $$
$$ 7)~log_a~b=\frac{log_c~b}{log_c~a},~c\neq 1 $$
$$ 8)~log_a~b=\frac{1}{log_b~a},~b\neq 1 $$
$$ 9)~a^{log_b~c}=c^{log_b~a},~c\neq 1,~b\neq 1 $$
Тригонометрия: табличные значения углов.
| α | sin α | cos α | tg α | ctg α |
| 0 | 0 | 1 | 0 | ∞ |
| $$\frac{\pi}{6}$$ | $$\frac{1}{2}$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ | $$\sqrt{3}$$ |
| $$\frac{\pi}{4}$$ | $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ | $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ | 1 | 1 |
| $$\frac{\pi}{3}$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | $$\frac{1}{2}$$ | $$\sqrt{3}$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ |
| $$\frac{\pi}{2}$$ | 1 | 0 | ∞ | 0 |
Тригонометрические формулы
$$ sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 $$
$$ sin2\alpha=2sin\alpha \cdot cos\alpha$$
$$ cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha $$
$$ sin(\alpha+\beta)=sin\alpha\cdot cos\beta + cos\alpha\cdot sin\beta $$
$$ cos(\alpha+\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta — sin\alpha\cdot sin\beta $$
$$ sin(\alpha-\beta)=sin\alpha\cdot cos\beta — cos\alpha\cdot sin\beta $$
$$ cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta + sin\alpha\cdot sin\beta $$
$$ tg(\alpha\pm \beta)=\frac{tg\alpha\pm tg\beta}{1\mp tg\alpha~tg\beta} $$
Степени
$$ a^{-x}=\frac{1}{a^x} $$
$$ a^{x+y}=a^x a^y $$
$$ a^{a-y}=\frac{a^x}{a^y} $$
$$ a^{xy}=(a^x)^y=(a^y)^x $$
$$(ab)^x=a^x b^x $$
$$ \left( \frac{a}{b} \right)^x=\frac{a^x}{b^x} $$
$$ a^0=1,~a^1=a $$
Производные
$C’=0$ для любой константы $C$
$x’=1$
$(x^\alpha)’=\alpha x^{\alpha-1}$, где $\alpha$ — любое число, не зависящее от $x$
$$(sin~x)’=cos~x$$
$$(cos~x)’=-sin~x$$
$$(tg~x)’=\frac{1}{cos^2~x}$$
$$(ctg~x)’=-\frac{1}{sin^2~x}$$
$(Cf(x))’=Cf'(x)$, где $C$ -константа, т.е. не функция, а число
$$(f(x)\pm g(x))’=f'(x)\pm g'(x)$$
$$(f(x)\cdot g(x))’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
$$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$
$$(f(g(x)))’=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Вероятность
Вероятность события A: m — благоприятные, n — общее число событий
$$P(A)=m/n$$
События А и В происходят одновременно: А · В
Независимые события: Р(А · В) = Р(А) · Р(В)
Зависимые события: Р(А · В) = Р(А) · Р(В | А)
Происходит или А, или В: А + В
Несовместные события: Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Совместные события: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(А · В)
Формулы для ДВИ
Теорема Птолемея
