ДВИ МГУ 2018 по математике.
Задача 1:
Какое из чисел $\frac{49}{18}$ и $\frac{79}{24}$ ближе к 3?
Задача 2:
Найдите все значения параметра $a$, при которых разность между корнями уравнения $x^2+3ax+a^4=0$ максимальна.
Задача 3:
Решите уравнение $sin~4x~cos~10x=sin~x~cos~7x$.
Задача 4:
Решите неравенство:
$$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{log_{\sqrt{3}-\sqrt{2}}x}\ge (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{log_x(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$$
Задача 5:
Задача 6:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система
$$\begin{cases}ax^2+4ax-8y+6a+28\le 0\\ay^2-6ay-8x-11a-12\le 0\end{cases}$$
имеет ровно одно решение.
Задача 7:
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA′B′C′D′ с боковыми рёбрами AA′, BB′, CC′, DD′. На рёбрах AB, BC, CD, DA нижнего основания отмечены соответственно точки K, L, M, N, таким образом, что AK : KB = 4 : 5, BL : LC = 3 : 1, CM : MD = 7 : 2, DN : NA = 3 : 1. Пусть P, Q, R — центры сфер, описанных около тетраэдров AKNA′, BLKB′, CMLC ′, соответственно. Найдите PQ, если известно, что QR = 1 и AB : BC = 3 : 2.
Задача 8:
Найдите все пары чисел $x$, $y$ из промежутка $(0,\frac{\pi}{2})$, при которых достигается минимум выражения:
$$\left( \frac{\sqrt{3}sin~y}{\sqrt{2}sin(x+y)}+1 \right)\left( \frac{\sqrt{2}sin~x}{3sin~y}+1 \right)^2\cdot$$$$\cdot \left( \frac{sin(x+y)}{7\sqrt{3}sin~x}+1 \right)^4$$
Ответы:
1)Первое; 2) $a=\pm \frac{3}{2\sqrt2}$; 3) $x=\frac{k\pi}{3},\frac{2k+1}{22}\pi,~k\in \mathbb{Z}$; 4)$x\in \left(0,\sqrt3-\sqrt2 \right] \cup \left(1,\sqrt3+\sqrt2 \right] $; 5)3; 6)a = 2; 7)$\frac{3}{2}$; 8)$x=arccos\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},y=arccos\frac{1}{\sqrt{3}}.$