ДВИ МГУ 2024 по математике. 1 поток.
Задача 1:
Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа:
$$\frac{{2}+{\cos}\frac{\pi}{5}}{3}+\frac{{}{}{3}+{\sin}(\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{2})}{2}$$
Задача 2:
Натуральные числа a1,…,an образуют строго возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения n, если известно, что n нечетно, n > 1 и сумма a1 + … + an равна 2024.
Задача 3:
Решите неравенство:
$$log_{x+3}(x^2-7x+12)\le2$$
Задача 4:
Решите уравнение:
$$\frac{tg~3x+tg~x}{1+tg~3x~tg~x}=tg~4x~tg~2x$$
Задача 5:
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке D. Известно, что AD = 2 + $\sqrt{3}$, CD = $\sqrt{3}$. Найдите угол ∠CAB, если известно также, что он в два раза меньше угла ∠ACB.
Задача 6:
Числа a,b,с положительны и удовлетворяют соотношению a + b + c = 1. Найдите наименьшее возможное значение выражения.
$$\frac{1+a}{1-a}\times\frac{1+b}{1-b}\times\frac{1+c}{1-c}$$
Задача 7:
Плоскость π перпендикулярна ребру SA правильной треугольной пирамиды ABCS с вершиной S и основанием ABC, делит это ребро в отношении 1 : 2 ( считая от вершины S ) и проходит через середину ребра SB. Найдите угол между плоскостью π и плоскостью основания пирамиды.
Ответы:
1) 2; 2) 11 и 23; 3) $(-3;-2),\left[~\frac{3}{13};3\right),(4;\infty)$; 4) $\pi{n};\frac{\pi}{12}+\pi{n};~\frac{5\pi}{12}+\pi{n};~n\in{Z}$; 5) $30^\circ$; 6) 8; $a=b=c=\frac{1}{3}$; 7) $arcsin\frac{\sqrt2}{3}$.