ДВИ МГУ 2024 по математике. 2 поток.
Задача 1:
Найдите целое число, задаваемое выражением:
$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}+\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}$$
Задача 2:
Найдите сумму всех натуральных чисел n, для которых число n2 + 7n + 1 является квадратом некоторого натурального числа.
Задача 3:
Решите неравенство:
$$8^{log_{x^{2}-1}(x-1)}+8^{log_{x^{2}-1}(x+1)}\le 6$$
Задача 4:
Решите уравнение:
$$sin~x + sin~2x + cos~x = 1$$
Задача 5:
Вокруг остроугольного треугольника ABC описана окружность. На дуге CA (не содержащей точку B) этой окружности отмечена некоторая точка P. Прямая, проходящая через точки B и H, где H – точка пересечения высот треугольника ABC, пересекает отрезок AP в точке Q. Найдите отношение AC к BC, если известно, что точки C, P, Q, H лежат на одной окружности.
Задача 6:
Число x0 является общим корнем многочленов x3 + ax2 + bx + c, x3 + bx2 + cx + a, x3 + cx2 + ax + b. Найдите все возможные значения x0, если известно, что a > b > c.
Задача 7:
В основании пирамиды лежит трапеция ABCD, AD||BC, AD = 2BC. Сфера радиуса 1 касается плоскости основания пирамиды и плоскостей ее боковых граней ADS и BCS. Найдите отношение, в котором делит объем пирамиды плоскость ADT, где Т – точка касания сферы с плоскостью BCS, если грань ADS перпендикулярна плоскости основания, а высота пирамиды равна 4.
Ответы:
1) 3; 2) 9; 3) $[3;\infty)$; 4) $2\pi{n};\frac{\pi}{2}+2\pi{n};~n\in{Z}$; 5) 1 : 1; 6) 1; 7) $\frac{12}{13}$.