ДВИ МГУ 2024 по математике. 3 поток.
Задача 1:
Найдите целое число, задаваемое выражением:
$$log_{1/2}\left( tg\frac{\pi}{6} \right)+log_{1/2}\left( cos\frac{\pi}{6} \right)$$
Задача 2:
Найдите сумму всех двузначных чисел, состоящих из одной четной цифры и одной нечетной цифры (четные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8, нечетные — все остальные).
Задача 3:
Решите неравенство:
$$\frac{4^{x^{2}}-16^{4x-8}}{\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{12+4x-x^{2}}}>0$$
Задача 4:
Решите уравнение:
$$2sin^3~x= cos~3x$$
Задача 5:
На стороне ВС остроугольного треугольника АВС отмечена точка D, отличная от В и С. Пусть Е – точка пересечения отрезка АС с окружностью, описанной около треугольника ABD, отличная от А. Пусть F – точка пересечения отрезка АВ с окружностью, описанной около треугольника ACD, отличная от А. Пусть D′,E′,F′– точки пересечения окружности, описанной около треугольника ABC, с прямыми AD, BE, CF соответственно, отличные от точек A, B, C. Найдите угол ∠E′D′F′, если известно, что угол ∠EDF = 30°.
Задача 6:
Найдите все тройки положительных чисел x, y, z, удовлетворяющие системе уравнений:
$$\begin{cases}x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)=xyz\\(x^4+x^2y^2+y^4)(y^4+y^2z^2+z^4)(z^4+z^2x^2+x^4)=x^3y^3z^3\end{cases}$$
Задача 7:
В основании прямой призмы лежит ромб стороной 3. Найдите объем призмы, если известно, что существует сфера радиуса 1, касающаяся плоскости нижнего основания, двух противоположных боковых ребер и всех ребер верхнего основания.
Ответы:
1) 1; 2) 2450; 3) $[0;4),(4;6]$; 4) $-\frac{\pi}{4}+\pi{n};~arctg\left(\frac{1}{2}\right)+\pi{n};~n\in{Z}$; 5) $30^\circ$; 6) $-\frac{\pi}{4}+\pi{n};~arctg\left(\frac{1}{2}\right)+\pi{n};~n\in{Z}$; 7) $\frac{16\sqrt{2}}{3}$