ДВИ МГУ 2024 по математике. 3 поток.
Найдите целое число, задаваемое выражением
$$log_{1/2}\left( tg\frac{\pi}{6} \right)+log_{1/2}\left( cos\frac{\pi}{6} \right).$$
Ответ
$1$
Решение
$$log_{1/2}\left( tg\frac{\pi}{6} \right)+log_{1/2}\left( cos\frac{\pi}{6} \right)=log_{1/2}\left( sin\frac{\pi}{6} \right)=log_{1/2}(1/2)=1.$$
$$log_{1/2}\left( tg\frac{\pi}{6} \right)+log_{1/2}\left( cos\frac{\pi}{6} \right)=$$
$$=log_{1/2}\left( sin\frac{\pi}{6} \right)=log_{1/2}(1/2)=1.$$
Найдите сумму всех двузначных чисел, состоящих из одной четной цифры и одной нечетной цифры (четные цифры — это $0, 2, 4, 6, 8,$ нечетные — все остальные).
Ответ
$2450$
Решение
Если первая цифра $a$ равна $1,~3,~5,~7,~9,$ мы должны учесть числа $a0,~a2,~a4,~a6,~a8.$ Если первая цифра $a$ равна $2,~4,~6,~8,$ мы должны учесть числа $a1,~a3,~a5,~a7,~a9.$ Если из каждого такого числа вычесть $1$, получим числа $a0,~a2,~a4,~a6,~a8.$ Таким образом, если из искомой суммы вычесть $20$, мы получим сумму всех четырех чисел от $10$ до $98$. Эта сумма равна $45\cdot \frac{10+98}{2}=45\cdot 54=90\cdot 27=2430.$ Стало быть, искомая сумма равна $2430+20=2450.$
Решите неравенство
$$\frac{4^{x^{2}}-16^{4x-8}}{\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{12+4x-x^{2}}}>0.$$
Ответ
$x\in[0;4)\cup (4;6]$
Решение
Неравенство равносильно системе
$$\begin{cases} x^2-2(4x-8)\gt0 \\ x^2+4x\ge0 \\ x^2-4x-12\le 0 \\ |x^2+4x|+|x^2-4x-12|\neq 0 \end{cases} \Longleftrightarrow$$
$$\Longleftrightarrow \begin{cases} (x-4)^2\gt 0 \\ x(x+4)\ge 0 \\ (x-6)(x+2)\le 0 \end{cases} \Longleftrightarrow$$
$$\Longleftrightarrow \begin{cases} 0\le x\le 6 \\ x\neq 4 \end{cases}.$$
Решите уравнение
$$2sin^3~x= cos~3x.$$
Ответ
Решение
Воспользуемся формулой косинуса тройного угла и заметим, что $cos~x=0$ не дает решение. Тогда
$$2sin^3x=cos3x\Longleftrightarrow 2sin^3x= 4cos^3x-3cosx\Longleftrightarrow 2tg^3x=4-3(1+tg^2x)\Longleftrightarrow $$
$$2sin^3x=cos3x\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow 2sin^3x= 4cos^3x-3cosx\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow 2tg^3x=4-3(1+tg^2x)\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow 2~tg^3x+3~tg^2x-1=0\Longleftrightarrow (tg~x+1)^2(2~tg~x-1)=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow 2~tg^3x+3~tg^2x-1=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow (tg~x+1)^2(2~tg~x-1)=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow tg~x=-1,\frac{1}{2}\Longleftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,~arctg\frac{1}{2}+k\pi,~k\in\mathbb{Z}.$$
$$\Longleftrightarrow tg~x=-1,\frac{1}{2}\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,~arctg\frac{1}{2}+k\pi,~k\in\mathbb{Z}.$$
Задача 5:
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ отмечена точка $D$, отличная от $B$ и $C$. Пусть $E$ – точка пересечения отрезка $AC$ с окружностью, описанной около треугольника $ABD$, отличная от $A$. Пусть $F$ – точка пересечения отрезка $AB$ с окружностью, описанной около треугольника $ACD$, отличная от $A$. Пусть $D’,E’,F’$ – точки пересечения окружности, описанной около треугольника $ABC$, с прямыми $AD, BE, CF$ соответственно, отличные от точек $A, B, C$. Найдите угол $\angle E’D’F’$, если известно, что угол $\angle EDF = 30^\circ$.
Ответ
Решение
Покажем, что $ED~||~E’D’$. Поскольку точки $A$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $BE$, точки $D$ и $D’$ лежат по одну сторону от прямой $BE$. Учитывая равенство углов, опирающихся на равные дуги, получаем, что
$\angle BED=\angle BAD=\angle BAD’=\angle BE’D’.$
Стало быть, действительно, $ED~||~E’D’$. Аналогично, $FD~||~F’D’$. Отсюда следует, что $\angle E’D’F’=\angle EDF=30^\circ$.
Найдите все тройки положительных чисел $x, y, z,$ удовлетворяющие системе уравнений
$$\begin{cases}(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)=xyz\\(x^4+x^2y^2+y^4)(y^4+y^2z^2+z^4)(z^4+z^2x^2+x^4)=x^3y^3z^3\end{cases}.$$
Ответ
$x=y=z=1/3$
Решение
Заметим, что $x^4+x^2y^2+y^4=$$(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$. Отсюда, учитывая положительность $x,~y,~z,$ получаем
$$(x^2-xy+y^2)(y^2-yz+z^2)(z^2-zx+x^2)=x^2y^2z^2.$$
$$(x^2-xy+y^2)(y^2-yz+z^2)(z^2-zx+x^2)=$$
$$=x^2y^2z^2.$$
Но для положительных $x,~y,~z$ справедливо $x^2-xy+y^2\ge xy,$ $y^2-yz+z^2\ge yz,$ $z^2-zx+x^2\ge zx$ и равенства достигаются лишь при $x=y=z$. Подставляя $x=y=z$ в первое уравнение из условия, получаем $x=y=z=1/3$.
В основании прямой призмы лежит ромб стороной $3$. Найдите объем призмы, если известно, что существует сфера радиуса $1$, касающаяся плоскости нижнего основания, двух противоположных боковых ребер и всех ребер верхнего основания.
Ответ
Решение
Обозначим вершины оснований призмы через $A,~B,~C,~D$ и $A’,~B’,~C’,~D’$ и предположим, что $AA’,$ $CC’$ — те самые боковые ребра, которых касается сфера. Опустим из центра $O$ сферы перпендикуляры: $OK$ на плоскость $ABCD,$ $OL$ на ребро $AA’,$ $OM$ на ребро $A’B’$. Длины этих перпендикуляров равны $1$. Опустим также перпендикуляры $ON$ и $KP$ на плоскость $ABB’A’$. Тогда $NP=OK=1$. Кроме того, треугольники $OMN,$ $OLN$ и $KAP$ равны по гипотенузе и катету. Пусть $x$ — длина этого катета, то есть $x=KP=ON$. Пусть $\alpha=\angle AKP$. Тогда $\alpha=\angle LON=\angle MON$. Из треугольника $AKP$
$$cos~\alpha=x/AK=x.$$
Но $\angle AKP=\angle ABK,$ то есть из треугольника $ABK$
$$sin~\alpha=AK/AB=1/3.$$
Итак, высота ромба в основании равна
$$2x=2~cos~\alpha=4\sqrt{2}/3,$$
а высота призмы равна
$$PM=PN+NM=1+sin~\alpha=4/3.$$
Стало быть, объем призмы равен
$$3\cdot \frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{4}{3}=\frac{16\sqrt{2}}{3}.$$