ДВИ МГУ по математике. 5 поток.
Задача 1:
Найдите наименьшее целое число, превосходящее число:
$$\left( \frac{16}{25} \right)^{cos(\pi/3)}+\left( \frac{9}{25} \right)^{-sin(\pi/6)}$$
Задача 2:
Числа a1,a2,…,a20 образуют арифметическую прогрессию. Найдите ее разность, если известно, что:
$$a_2^1+a_2^3+…+a_{19}^2=1330, a_2^2+a_2^4+$$$$+…+a_{20}^2=1540~~и~~a_{10}+a_{11}=21$$
Задача 3:
Решите неравенство:
$$log_x\frac{2x}{3-x}\le 2$$
Задача 4:
Решите уравнение:
$$cos~2x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}(cos~x+sin~x)$$
Задача 5:
Окружность Ω1 с центром О1 и окружность Ω2 с центром О2 пересекаются в точках А и В, причем ∠О1АО = 120°. Окружность, описанная около треугольника О1АО2 пересекает окружности Ω1 и Ω2 соответственно в точках C и D (отличных от точки A). Найдите угол ∠BDC, если известно, что ∠ACB= 15°.
Задача 6:
Числа a,b,с,d положительны и удовлетворяют соотношению a + b + c + d = 1. Найдите наименьшее возможное значение выражения.
$$\frac{a^2}{1-a}+\frac{b^2}{1-b}+\frac{c^2}{1-c}+\frac{d^2}{1-d}$$
Задача 7:
Все ребра прямой треугольной призмы ABCA′B′C′ с основанием ABC и боковыми ребрами AA′, BB′, CC′ равны. Найдите отношение, в котором делит объем этой призмы плоскость, проходящая через вершину C′ и через середины ребер AB, AA′.
Ответы:
1) 3; 2) 1; 3) (0;1),(1;2); 4) $-\frac{\pi}{4}+\pi{n};~-\frac{\pi}{6}+2\pi{n};~n\in{Z}$; 5) 45; 6) $\frac{1}{3};~a=b=c=d=\frac{1}{4}$; 7) 13 : 23.