ДВИ МГУ 2024 по математике. 6 поток.
Найдите наименьшее целое число, превосходящее число:
$$log_2(3+2\sqrt{2})-log_2(1+\sqrt{2})$$
Ответ
2
Решение
$log_2(3+2\sqrt{2})-log_2(1+\sqrt{2})=log_2((1+\sqrt{2})^2)-log_2(1+\sqrt{2})=log_2(1+\sqrt{2})\in(1,2)$
$log_2(3+2\sqrt{2})-log_2(1+\sqrt{2})=$
$=log_2((1+\sqrt{2})^2)-log_2(1+\sqrt{2})=$
$=log_2(1+\sqrt{2})\in(1,2)$
Ответ
8
Решение
Первое равенство равносильно равенству $(a-c)(a+c-b)=0$. Поскольку $a\ge b$ и $c\ge 1$, получаем $a=c$. Второе равенство равносильно равенству $(b-d)(b+d-c)=0$. Получаем либо $b=d$, либо $b+d=c(=a)$. Если $a=c=1$, то в силу максимальности $a$ имеем $a=b=c=d=1$. Это один вариант. Если $a=c=2$, то либо $b=d=1$, либо $b=d=2$. Это еще два варианта. Наконец, если $a=c=3$, то либо $b=d=1$, либо $b=d=2$, либо $b=d=3$, либо $b=1$, $d=2$, либо $b=2,~d=1$. Это еще пять вариантов. Всего получаем 8 вариантов.
$$log_{x-1}(2x-5)+log_{4x^{2}-20x+25}(x^2-2x+1)-log_{2x-5}(4x^2-20x+25)\le 0$$
$log_{x-1}(2x-5)+log_{4x^{2}-20x+25}(x^2-2x+1)-$$-log_{2x-5}(4x^2-20x+25)\le 0$
Ответ
$x\in \left( \frac{5}{2};3\right)\cup \{ 4 \}$
Решение
ОДЗ: $x\gt \frac{5}{2},~x\neq 3$. При $x$ принадлежащем ОДЗ справедливо $x-1\gt 1$ и, стало быть, при $x$ из ОДЗ имеем
$log_{x-1}(2x-5)+log_{4x^{2}-20x+25}(x^2-2x+1)-log_{2x-5}(4x^2-20x+25)\le 0\Longleftrightarrow$
$log_{x-1}(2x-5)+log_{4x^{2}-20x+25}(x^2-2x+1)-$$-log_{2x-5}(4x^2-20x+25)\le 0\Longleftrightarrow$
$\Longleftrightarrow log_{x-1}(2x-5)+log_{2x-5}(x-1)-2\le 0\Longleftrightarrow $
$\Longleftrightarrow log_{x-1}(2x-5)+log_{2x-5}(x-1)-2\le 0\Longleftrightarrow $
$$\Longleftrightarrow \frac{(log_{x-1}(2x-5)-1)^2}{log_{x-1}(2x-5)}\le 0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} log_{x-1}(2x-5)=1 \\ log_{x-1}(2x-5)\lt0 \end{gathered} \right.\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x-5=x-1 \\ 2x-5\lt 1 \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=4 \\ x\lt 3\end{gathered} \right.$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} log_{x-1}(2x-5)=1 \\ log_{x-1}(2x-5)\lt0 \end{gathered} \right.$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x-5=x-1 \\ 2x-5\lt 1 \end{gathered} \right.$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=4 \\ x\lt 3\end{gathered} \right.$$
Учитывая ОДЗ, получаем $x\in \left( \frac{5}{2};3\right)\cup \{ 4 \}$.
$$tg~x-4sin~x=\sqrt3$$
Ответ
$$x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,~\frac{\pi}{9}+\frac{2k+1}{3}\pi,~k\in \mathbb{Z}$$
Решение
$$tg~x-4~sin~x=\sqrt{3}\Longleftrightarrow 4~sin~x~cos~x=sin~x-\sqrt{3}~cos~x\Longleftrightarrow sin~2x=sin\left( x-\frac{\pi}{3} \right)\Longleftrightarrow $$
$$tg~x-4~sin~x=\sqrt{3}\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow 4~sin~x~cos~x=sin~x-\sqrt{3}~cos~x\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow sin~2x=sin\left( x-\frac{\pi}{3} \right)\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x=x-\frac{\pi}{3}+2k\pi \\ 2x=-x+\frac{\pi}{3}+(2k+1)\pi \end{gathered} \right.,~~~k\in \mathbb{Z\Longleftrightarrow }$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \\ x=\frac{\pi}{9}+\frac{2k+1}{3}\pi \end{gathered} \right.,~~~k\in \mathbb{Z}.$$
Задача 5:
В треугольнике $ABC$ угол $A$ является тупым. На стороне $BC$ отмечена точка $D$ таким образом, что $AC=CD$. При этом окружность, описанная около треугольника $ACD$, касается прямой $AB$ в точке $A$. На прямой $AD$ отмечена точка $E$ таким образом, что $CE=EA=AB$. Найдите отношение $BC:AB$.
Ответ
$\sqrt{2}$
Решение
Поскольку треугольник $ACD$ равнобедренный, угол $\angle CAD$ является острым. Аналогично, из равнобедренности треугольника $AEC$ следует, что $\angle CAE$ является острым. Стало быть, точки $E$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AC$. Далее, у треугольников $ACD$ и $AEC$ общий угол при основаниях. Стало быть, $\angle AEC=\angle DCA$. Но $\angle DCA=\angle DAB$, так как $\angle DCA$ опирается на дугу $AD$, тогда как прямая $AB$ является касательной. Получаем равенство $\angle AEC=\angle DAB=\angle EAB$, из которого следует, что $AB~||~CE$. Учитывая, что $AB=CE$, видим, что $ABEC$ — параллелограмм. Тогда $BD=\frac{1}{2}BC$, откуда по теореме о секущей и касательной получаем, что $AB^2=\frac{1}{2}BC^2$. Стало быть, $BC:AB=\sqrt{2}$.
Многочлен $f(x)=x^4-12x^3+ax^2+bx+81$ с действительными $a$ и $b$ допускает разложение $f(x)=(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)(x-c_4)$ с некоторыми действительными $c_1,c_2,c_3,c_4$. Найдите все возможные значения $f(5)$.
Ответ
16
Решение
Раскрывая скобки, получаем равенства $c_1+ c_2+c_3+c_4=12$ и $c_1 c_2 c_3 c_4=81$
Стало быть, в силу неравенства между средним арефметическим и средним геометрическим
$$3=\frac{1}{4}(c_1+ c_2+c_3+c_4)=\frac{\frac{c_1+c_2}{2}+\frac{c_3+c_4}{2}}{2}\ge \frac{\sqrt{c_1c_2}+\sqrt{c_3c_4}}{2}\ge \sqrt[4]{c_1 c_2 c_3 c_4}=3$$
$$3=\frac{1}{4}(c_1+ c_2+c_3+c_4)=$$
$$=\frac{\frac{c_1+c_2}{2}+\frac{c_3+c_4}{2}}{2}\ge $$
$$\ge \frac{\sqrt{c_1c_2}+\sqrt{c_3c_4}}{2}\ge \sqrt[4]{c_1 c_2 c_3 c_4}=3$$
То есть все неравенства должны быть равенствами, а это равносильно тому, что $c_1=c_2=c_3=c_4=3$. А это значит, что $f(x)=(x-3)^4$. Стало быть, $f(5)=2^4=16$.
Задача 7:
Расстояние от середины высоты правильной четырехугольной пирамиды до боковой грани равно $\sqrt2$, а до бокового ребра — $\sqrt3$. Найдите объем пирамиды.
Ответ
$$32\sqrt{6}$$
Решение
Пусть $S$ — вершина пирамиды, $H$ — основание высоты, $A$ — одна из вершин основания, $M$ — середина одного из ребер основания. Обозначим также через $a$ длину ребра основания и через $h$ высоту пирамиды. Из условия следует, что расстояние от середины отрезка $SH$ до $SM$ равно $\sqrt{2}$, а до $SA-\sqrt{3}$. Из подобия треугольников получаем
$$\frac{\sqrt{2}}{h/2}=\frac{a/2}{\sqrt{(a/2)^2+h^2}},~~~\frac{\sqrt{3}}{h/2}=\frac{a/\sqrt{2}}{\sqrt{a^2/2+h^2}}.$$
$$\frac{\sqrt{2}}{h/2}=\frac{a/2}{\sqrt{(a/2)^2+h^2}},$$
$$\frac{\sqrt{3}}{h/2}=\frac{a/\sqrt{2}}{\sqrt{a^2/2+h^2}}.$$
То есть
$$\begin{cases} \frac{a^2/4+h^2}{a^2h^2}=\frac{1}{32} \\ \frac{a^2/2+h^2}{a^2h^2}=\frac{1}{24}\end{cases}\Longleftrightarrow $$
$$\begin{cases} \frac{1}{h^2}=\frac{1}{24} \\ \frac{1}{a^2}=\frac{1}{48}\end{cases}\Longleftrightarrow
\begin{cases} h=2\sqrt{6} \\ a^2=48\end{cases}.$$