Реальный вариант ЕГЭ по профильной математике 2024
Задача 1:
Ответ
47
Решение
Если ∠CAD и ∠CBD опираются на одну дугу, то это два вписанных угла и они равны, а значит ∠CBD = 57°. Следовательно ∠ABD = ∠ABC — ∠CBD, то есть 104 — 57 = 47.
Задача 2:
Даны векторы $\vec{a}(3;0)$ и $\vec{b}(1;3)$. Найдите длину вектора $\vec{a}+5\vec{b}$.
Ответ
17
Решение
$\vec{C}=\left\{ 3+5;0+3 \cdot 5 \right\}$
$\vec{C}=\left\{ 8;15 \right\}$
Применим теорему Пифагора
$C^2=64+225=289$
$C=17$
Задача 3:
Ответ
10
Решение
$$V=\frac{1}{3}h \cdot S=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 2\cdot 5=10$$
Задача 4:
Ответ
0,15
Решение
$$p=\frac{6}{40}=\frac{3}{20}\cdot \frac{5}{5}=\frac{15}{100}=0,15$$
Задача 5:
Ответ
0,0064
Решение
$$p=0,8\cdot 0,2\cdot 0,2\cdot 0,2=0,0064$$
Задача 6:
Ответ
7
Решение
$$44-5x=9$$
$$5x=44-9$$
$$5x=35$$
$$x=7$$
Задача 7:
Ответ
2,5
Решение
$$5\sqrt{2}~sin\frac{3\pi}{8}~cos \frac{3\pi}{8}$$
Домножим на 2 о разделим на 1/2. Получим:
$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 5sin\frac{3\pi}{4}$$
$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 5\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5}{2}=2,5$$
Задача 8:
Ответ
1
Задача 9:
Ответ
30
Решение
$$S=Vot+\frac{at^2}{2}$$
$$35=65t+10t^2$$
Разделим на 5
$$2t^2+13t-7=0$$
$$D=169+4\cdot 2\cdot 7=169+56=225=15^2$$
$$t=\frac{-13+15}{4}=\frac{1}{2}$$
$\frac{1}{2}$ часа — 30 мин.
Задача 10:
Валя и Галя, работая вместе, пропалывают грядку за 12 минут, а одна Галя за 84 минуты. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Валя?
Ответ
14
Решение
Пусть $a$ — Валя, а $b$ — Галя. Тогда:
$$(a+b)\cdot 12=S$$
$$b\cdot 84=S$$
$$a\cdot x=S$$
$$12a+12\frac{S}{84}=S$$
$$12a+\frac{1}{7}S=S$$
$$12a=\frac{6}{7}S$$
$$a\cdot \frac{12\cdot 7}{6}=S$$
$$a\cdot 14=S$$
Задача 11:
Ответ
32
Решение
$$y=a^x$$
$$2=a^1=a$$
$$y=2^x$$
$$y(5)=2^5=32$$
Задача 12:
Найдите точку максимума функции $y=6\cdot ln(x-7)-6x-10$
Ответ
8
Решение
$$y=6\cdot ln(x-7)-6x-10$$
Подсчетаем производную от
$$(ln(x-7))’=\frac{1}{x-7}\cdot (x-7)’$$
$$y’=6\cdot \frac{1}{x-7}-6=0$$
$$\frac{1}{x-7}=1$$
$$x-7=1$$
$$x=8$$
Задача 13:
а) Решите уравнение: $cos~2x — sin(x-\pi)-1=0$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке: $\left[ \frac{-7\pi}{2};-2\pi \right]$
Ответ
а) $x={\pi}k;~x=\frac{\pi}{6}+2{\pi}l;~x=\frac{5\pi}{6}+2{\pi}s~~~k,l,s\in \mathbb{Z}~$ $б)~-\frac{19}{6}\pi;~-3\pi;~-2\pi$
Решение
а) $cos(2x)=cos^2x-sin^2x=1-2sin^2x=cos^2x-1+cos^2x=2cos^2x-1$
Получаем $cos(2x)=2cos^2x-1$
$sin(x-\pi)=sin~x\cdot cos~ \pi-cos~x~sin~ \pi=-sin~x$
$$1-2sin^2x+sin~x-1=0$$
$$2sin^2x-sin~x=0$$
$$sin~x(2sin~x-1)=0$$
$$\left[ \begin{gathered}sin~x=0\\2sin~x=1\end{gathered} \right.$$
$$\left[ \begin{gathered}sin~x=0\\sin~x=\frac{1}{2}\end{gathered} \right.$$
$$x={\pi}k~~~k\in \mathbb{Z}$$
$$x=\frac{\pi}{6}+2{\pi}l$$
$$x=\frac{5\pi}{6}+2{\pi}s~~~k,l,s\in \mathbb{Z}$$
б) 1) $x=\pi k$
$k=1~~~x=-\pi$
$k=-2~~~x=-2\pi$ решение
$k=-3~~~x=-3\pi$ решение
$k=-4~~~x=-4pi$
2) $x=\frac{\pi}{6}+\pi l$
$$l=-1~~~x=\frac{\pi}{6}-2\pi \gt -2\pi$$
$$l=-2~~~x=\frac{\pi}{6}-4\pi=\frac{\pi}{6}-\frac{25\pi}{6}=-\frac{23}{6}\pi $$
$$-\frac{7}{2}\pi = -\frac{21}{6}\pi$$
$$-\frac{23}{6}\pi \lt -\frac{21}{6}\pi$$
3) $\frac{5}{6}\pi+2\pi S$
$S=-1$
$$x=\frac{5}{6}\pi-2\pi=\frac{5}{6}\pi-\frac{12}{6}\pi=-\frac{7}{6}\pi$$
$S=-2$
$$x=\frac{5}{6}\pi-\frac{24\pi}{6}=-\frac{19}{6}\pi$$
$$-\frac{19}{6}\pi\gt -\frac{21}{6}\pi$$
$S=-3$
$$x=\frac{5}{6}\pi-6\pi\lt -\frac{7}{2}\pi$$
Задача 14:
а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если B1N = 3$\sqrt{5}$
Ответ
2
Решение
Пусть $B’B=2a, AB=2a, AD=2a$.
а) Решим «Векторным методом»:
$$\vec{CM}={-2a;a;0}$$
$$\vec{B’N}={a;2a;-2a}$$
$$1-2sin^2x+sin~x-1=0$$
$$cos~\alpha=\frac{-2a\cdot a+a\cdot 2a}{\vec{|CM|}\cdot \vec{|B’N|}}=0\Longleftrightarrow $$
$$\alpha=\frac{\pi}{2} \Longleftrightarrow \alpha=90^\circ $$
$B’N=3\sqrt{5}$
$B’N={a;2a;-2a}$
$a^2+4a^2+4a^2=9\cdot 5$
$9a^2=9\cdot 5$
$a=\sqrt{5}$ Значит $B’B=2\sqrt{5}$
$B’=(0;0;4), N=(2;4;0), T=(4;3;0).$
Уравнение плоскости в пространстве: $ax+by+cz+d=0$
$4c+d=0$
$2a+4b+d=0$
$4a+3b+d=0$
$c=-\frac{d}{4}$
$4a+8d+2d=0$
$5b+d=0$
$2a-4\frac{d}{5}+d=0$
$a=-\frac{d}{10}$
$-\frac{d}{10}x-\frac{d}{5}y-\frac{d}{4}z+d=0$ домножим на (-20)
$2x+4y+5z-20=0$
$M(0;2;0)$
$$h=\frac{|8-20|}{\sqrt{4+16+25}}=\frac{12}{3\sqrt{5}}$$
$$h=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$h=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$$
Задача 15:
$$\frac{2^x+8}{2^x-8}+\frac{2^x-8}{2^x+8}\ge \frac{2^{x+4}+96}{4^x-64}$$
Ответ
$x\in\left\{ 2 \right\}\cup (3;+\infty )$
Решение
$$\frac{2^x+8}{2^x-8}+\frac{2^x-8}{2^x+8}\ge \frac{2^{x+4}+96}{4^x-64}$$
ОДЗ:
$$\begin{cases}2^x-8\neq 0\\2^x+8\neq 0\\4^x-64\neq 0\end{cases}$$
$2^x-8\neq 0$
$2^x\neq 8$
$x\neq 3$
$2^x+8\neq 0$ всегда выполняется
$4^x-64\neq 0$
$4^x\neq 64$
$x\neq log_{4}64=3$
$x\in (-infty;3)\cup (3;+\infty)
$t=2^x\gt 0$
Что такое $2^{x+4}=2^4\cdot 2^x=16\cdot 2^x=16^t$
Что такое $4x-64=(2^x)^2-8^2=(t-8)(t+8)
$$\frac{t+8}{t-8}+\frac{t-8}{t+8}-\frac{16t+96}{(t-8)(t+8)}\ge 0$$
$$\frac{t^2+16t+64+t^2-16t+64-16t-96}{(t-8)(t+8)}\ge 0$$
$$\frac{2t^2-16t+32}{(t-8)(t+8)}\ge 0$$
$$\frac{t^2-8t+16}{(t-8)(t+8)}\ge 0$$
$$\frac{(t-4)^2}{(t-8)(t+8)}\ge 0$$
$t\gt 0$, 8 — это положительное число, если домножить на положительное число, то знак неравенства не меняется.
$$\left[ \begin{gathered}t=4~~~2^x=4~~~x=2\\t\gt 8~~~2^x\gt 8~~~x\gt 3\end{gathered} \right.$$
$2a-4\frac{d}{5}+d=0$
$a=-\frac{d}{10}$
$-\frac{d}{10}x-\frac{d}{5}y-\frac{d}{4}z+d=0$ домножим на (-20)
$2x+4y+5z-20=0$
$M(0;2;0)$
$$h=\frac{|8-20|}{\sqrt{4+16+25}}=\frac{12}{3\sqrt{5}}$$
$$h=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$h=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$$
Задача 16:
Ответ
182000
Решение
$p$ — доля
$p=1+\frac{%}{100)=1,2$
|
До
|
После
|
Выплата
|
Остаток
|
|---|---|---|---|
$p(p(pS-x)-x)-x=0$
$$\begin{cases} p^3S=(p^2+p+1)x\\3x=S+77200\end{cases}$$
$p^3=(p^2+p+1)\frac{1}{3}(S+77200)$
$p=1,2$
$p^2=1,44$
$p^3=1,728$
$p^2+p+1=1,44+1,2+1=3,64$
$p^3=(p^2+p+1)\frac{1}{3}(S+77200)$ домножаем на 3
$3p^3S=(p^2+p+1)(S+77200)$
$3\cdot 1,728S=3,64(S+77200)$ домножаем на 1000
$3\cdot 1728S=3640(S+77200)$ разделим на 2
$3\cdot 864S=364\cdot 5(S+77200)$
$3\cdot 432S=2\cdot 91\cdot 5(S+77200)
$\cdot 216S=91\cdot 5(S+77200)$
$648S=455S+91\cdot 5\cdot 77200$
$193S=91\cdot 5\cdot 77200$
$193S=91\cdot 5\cdot 193\cdot 4$
S=91\cdot 2\cdot 10\cdot 100=182000$
Задача 17:
Ответ
а) — ; б) 49
Решение
а) $BM=CN$
$\frown{BM}=110+40=150$
$\frown{CN}=70+40+40=150$
б) Известно, что $BH=7$
$$S\bigtriangleup BDN=\frac{1}{2}BH\cdot ND$$
$\angle NBD=75^\circ$
$\angle DNB=75^\circ$
Поскольку $\angle NBD$ и $\angle DNB$ равны, то треугольник $BND$ — равнобедренный.
Дано, что $BH=7$
$\angle NDB=180^\circ -(\angle NBD+\angle DNB)$
$\angle NDB=30^\circ$
Получается, что треугольник $BDM$ — прямоугольный, $\angle NDB=30^\circ$, а значит противолежащий катет в два раза меньше чем гипотенуза. Следовательно $BD=ND=14$
$$S\bigtriangleup BDN=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 14=49$$
Задача 18:
$$\begin{cases} \frac{(y^2-xy-9y+5x+20)\sqrt{x+5}}{\sqrt{7-y}}=0\\a=x+y\end{cases}$$
Ответ
$a\in(-\infty;-6]\cup\left\{ 6 \right\}\cup[10;+\infty)$
Решение
$$\begin{cases} \frac{(y^2-xy-9y+5x+20)\sqrt{x+5}}{\sqrt{7-y}}=0\\a=x+y\end{cases}$$
$y^2-(x+9)y+5x+20$
$D=x^+18x+81-20x-80=x^2-2x+1=(x-1)^2$
$$y_1=\frac{x+9+x-1}{2}=x+4$$
$$y_2=\frac{x+9-x+1}{2}=5$$
$$y^2-(x+9)y+5x+20=(y-x-4)(y-5)$$
$$\begin{cases} \frac{(y-5)(y-x-4)\sqrt{x+5}}{\sqrt{7-y}}=0\\y=-x+a\end{cases}$$
$y\lt 7$
$x=-5$ решение
$x\ge -5$
$y=5$ решение
$y=x+4$ решение
$a\in (-infty;6]$ — 1 решение
$a\in (6;0]$ -2 решения
$a\in (0;2)$ — 3 решения
$a\in [2;6)$ — 2 решения
$a=6$ -1 решение
$a\in (6;10)$ — 2 решения
$a\in [10;+\infty)$ — 1 решение
Задача 19:
Ответ
а) Да; б) Нет; в) 5