ОГЭ по математике 2024
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
* исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
• пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
• пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
• пакет SMS, включающий 120 SMS в месяц;
• безлимитные бесплатные входящие вызовы.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| SMS | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 SMS.
1. Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите числа, соответствующие номерам месяцев, без пробелов, запятых и других дополнительных символов (например, для месяцев май, январь, ноябрь, август в ответ нужно записать число 51118).
| Мобильный интернет | 1 ГБ | 3 ГБ | 3,25 ГБ | 1,5 ГБ |
| Номер месяца |
Ответ
76108
Решение
2. Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в феврале?
Ответ
440
Решение
3. Сколько месяцев в 2019 году расходы по тарифу составили ровно 350 рублей?
Ответ
4
Решение
4. На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в феврале по сравнению с январём 2019 года?
Ответ
40
Решение
На графике видно, что в январе трафик мобильного интернета составил 2,5 гигабайта, а в феврале — 3,5 гигабайта. Следовательно, трафик увеличился на $\frac{3,5-2,5}{2,5}\cdot 100\%=40\%$.
5. В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
| Абонентская плата в месяц | 440 руб. |
| В абонентскую плату включены пакеты: | |
| пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| пакет SMS | 120 SMS |
| После расходования пакетов: | |
| входящие вызовы | 0 руб./мин |
| исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| мобильный интернет(пакет) | 180 руб. за 0,5 ГБ |
| SMS | 2 руб./шт. |
* исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф.
Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Ответ
440
Решение
Рассчитаем, сколько абонент потратил на услуги связи за 2019 г.:
$350\cdot 12+\underset{интернет}{\underbrace{90+180+90+180}}+\underset{звонки}{\underbrace{150+75+225+75+75+150}}=5400$ руб.
$350\cdot 12+\underset{интернет}{\underbrace{90+180+90+180}}+$$+\underset{звонки}{\underbrace{150+75+225+75+75+150}}=5400$ руб.
Рассчитаем, сколько абонент потратил бы за 2019 г., если бы пользовался новым тарифом:
$440\cdot 12=5280$ руб
6. Найдите значение выражения 8,4 + 3,7.
Ответ
12,1
Решение
$8,4+3,7=12,1$
7. На координатной прямой отмечены точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷. Одна из них соответствует числу $\sqrt{76}$. Какая это точка?
Ответ
2
Решение
Возведем в квадрат числа $\sqrt{76}, 8, 9, 10$:
$\sqrt{76}^2=76, ~8^2=64, ~9^2=81, ~10^2=100$.
Число 76 лежит между числами 64 и 81 и находится ближе к числу 81, поэтому $\sqrt{76}$ соответствует точке $B$. Правильный ответ указан под номером 2.
8. Найдите корень уравнения $\frac{\sqrt{65}\cdot \sqrt{13}}{\sqrt{5}}$
Ответ
13
Решение
$$\frac{\sqrt{65}\cdot \sqrt{13}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{65\cdot 13}{5}}=\sqrt{13\cdot 13}=13$$
9. Найдите корень уравнения $4(x − 2) = −1$.
Ответ
1,75
Решение
$$4(x-2)=-1 \Leftrightarrow 4x-8=-1 \Leftrightarrow 4x=7\Leftrightarrow x=1,75$$
$4(x-2)=-1 \Leftrightarrow 4x-8=-1 \Leftrightarrow $ $ \Leftrightarrow 4x=7\Leftrightarrow x=1,75$
10. В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 1 жёлтая и 4 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Ответ
0,1
Решение
Вероятность того, что приедет желтое такси равна отношению количества желтых машин к общему числу машин: $\frac{1}{10}=0,1$.
11. Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) $y=-x^2-x+5$
Б) $y=-\frac{3}{4}x-1$
В) $y=-\frac{12}{x}$
ГРАФИКИ
1
2
3
| А | Б | В |
Ответ
123
Решение
А) $y=-x^2-x+5$ уравнение параболы, ветви которой направлены вниз;
Б) $y=-\frac{3}{4}x-1$ уравнение прямой, проходящей через точки $(0;-1)$ и $\left( -\frac{4}{3};0 \right)$;
12. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление $R$, если мощность составляет 28 Вт, а сила тока равна 2 А. Ответ дайте в омах.
Ответ
7
Решение
Выразим сопротивление из формулы для мощности: $P=I^2R \Leftrightarrow R=\frac{P}{I^2}$.
$R=\frac{28}{2^2}=\frac{28}{4}=7$
13. Укажите решение неравенства $x^2 > 36$.
Ответ
№1
Решение
$$x^2\gt 36\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x\lt -6\\ x\gt 6\end{gathered} \right.$$
14. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 6 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?
Ответ
130
Решение
Растущая скорость камня представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом 6 и разностью 10. Найдем сумму этой прогрессии:
$$S_5=\frac{2a_1+d(5-1)}{2}\cdot 5=\frac{2\cdot 6+10\cdot (5-1)}{2}\cdot 5=130$$
$$S_5=\frac{2a_1+d(5-1)}{2}\cdot 5=$$
$$=\frac{2\cdot 6+10\cdot (5-1)}{2}\cdot 5=130$$
15. В треугольнике ABC известно, что AB = 12, BC = 15, sin ∠ABC = $\frac{4}{9}$ . Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ
40
Решение
$$S=\frac{AB\cdot BC\cdot sinABC}{2}$$
$$S=\frac{12\cdot 15\cdot \frac{4}{9}}{2}=40$$
16. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 75°. Ответ дайте в градусах.
Ответ
15
Решение
Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, $\angle ACB$ равен 90°. Таким образом:
$$\angle{ABC}=180^\circ -75^\circ -90^\circ =15^\circ$$
17. Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 8, AB = 9. Найдите AC.
Ответ
16
Решение
Диагонали в прямоугольнике равны и точкой пересечения делятся пополам, значит, $AC=BD=BO\cdot 2=16$.
18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Ответ
5
Решение
Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований, т. е. $\frac{3+7}{2}=5$
19. Какое из следующих утверждений верно?
1) В параллелограмме есть два равных угла.
2) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ
1
Решение
1) «В параллелограмме есть два равных угла» — утверждение верно, противоположные углы параллелограмма равны.
20. Решите уравнение $(x + 1)^4 + (x + 1)^2-6 = 0$
Ответ
$\left\{ -1-\sqrt{2};~-1+\sqrt{2} \right\}$
Решение
Пусть $(x+1)^2=t, ~t\ge 0$, тогда:
$$t^2+t-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t=-3\\ t=2\end{gathered} \right.\Leftrightarrow t\ge 0,~t=2$$
$$(x+1)^2=2 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x+1=-\sqrt{2}\\ x+1=\sqrt{2}\end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-1-\sqrt{2} \\ x=-1+\sqrt{2}\end{gathered} \right.$$
$$(x+1)^2=2 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x+1=-\sqrt{2}\\ x+1=\sqrt{2}\end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-1-\sqrt{2} \\ x=-1+\sqrt{2}\end{gathered} \right.$$
21. Первая труба пропускает на 9 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 112 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба?
Ответ
21
Решение
Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту, тогда вторая труба пропускает $x+9$ литров воды в минуту. Резервуар объемом 112 литров первая труба заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба, составим уравнение:
$$\frac{112}{x}-\frac{112}{x+9}=4\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{112x+1008-112x}{x(x+9)}=4\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 4(x^2+9x)=1008\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow x^2+9x-252=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-21 \\ x=12 \end{gathered} \right.$$
22. Постройте график функции $y = x^2 — 7x — 5|x — 3| + 12$ и определите, при каких значениях 𝑚 прямая 𝑦 = 𝑚 имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ
$m=-4$ и $m=0$
Решение
Раскроем модуль. При $x\ge 3$ имеем:
$$y=x^2-7x-5(x-3)+12\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow y=x^2-12x+27$$
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины: $x_0=-\frac{b}{a}=6$,
ордината вершины $y_0=y(6)=-9$. Точка пересечения графика с осью ординат: $y(0)=27$.Точки пересечения с осью абсцисс найдем из уравнения
$x^2-12x+27=0$, получим: $x=3;x=9$. Дополнительная точка: $y(10)=7$.
При $x\lt 3$ имеем:
$$y=x^2-7x-5(-x+3)+12\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow y=x^2-2x-3$$
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины: $x_0=-\frac{b}{a}=1$, ордината вершины $y_0=y(1)=-4$. Точка пересечения графика с осью ординат: $y(0)=-3$. Точки пересечения с осью абсцисс найдем из уравнения $x^2-2x-3=0$, получим: $x=-1, x=3$. Дополнительная точка: $y(-2)=5$.
Прямая $y=m$ имеет с построенным графиком ровно три общие точки при $m=-4$ и $m=0$.
Приведем другой способ построения графика.
Раскроем модуль:
$$y=x^2-7x-5|x-3|+12=$$
\begin{cases} x^2-12x+27,~x\ge 3\\x^2-2x-3,~x\lt 3\end{cases}
$y=x^2-12x+27=x^2-12x+36-9=(x-6)^2-9$
$y=x^2-12x+27=x^2-12x+36-9=(x-6)^2-9$
$y=x^2-2x-3=x^2-2x+1-4=(x-1)^2-4$
$y=x^2-2x-3=x^2-2x+1-4=(x-1)^2-4$
Следовательно, график функции $y=x^2-12x+27$ получается из графика функции $y=x^2$ сдвигом на $(6;-9)$, а график функции $y=x^2-2x-3$ — сдвигом на $(1;-4)$.
График функции $y=x^2-7x-5|x-3|+12$ изображен на рисунке выше.
23. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.
Ответ
60°, 60°, 120°, 120°
Решение
Ведем обозначения как показано на рисунке. Пусть диагональ $AC$ равна $40^\circ$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим треугольник $AOH$, он прямоугольный, найдем синус $\angle OAH: sin\angle OAH=\frac{OH}{AO}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$, следовательно, $\angle OAH=30^\circ$. Рассмотрим треугольники $AOB$ и $AOD$, они прямоугольные, $AO$ — общая, $AB=AD$, следовательно, эти треугольники равны, откуда $\angle BAO=\angle OAD=30^\circ$, поэтому $\angle BAD=2\cdot 30^\circ=60^\circ$. Сумма смежных углов ромба равна $180^\circ$, откуда $\angle ABC=180^\circ — \angle BAD=$$180^\circ-60^\circ=120^\circ$.
24. Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина AB.
Ответ
—
Решение
Проведем $EL$ параллельно $AD$. Тогда в каждом из параллелограммов $ADEL$ и $LECB$ диагональ является биссектрисой, то есть это ромбы. Значит, $DE = EL = EC$.
25. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 6, BC = 5.
Ответ
$7\sqrt{2}$
Решение
Проведем построения, как показано на рисунке. Расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ — отрезок $EF$. Продолжим стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $M$, проведем отрезок $CK$, параллельный $AB$. Рассмотрим четырехугольник $ABCK$, прямая $BC$ параллельна $AK$, прямая $AB$ параллельна прямой $CK$, $\angle BAK $ — прямой, следовательно, $ABCK$ — прямоугольник.
Откуда $AB=KC$. Значит, $KD=AD-BC=14-17=7$. Из прямоугольного треугольника $CDK:cos\angle CDK=\frac{KD}{CD}=\frac{7}{CD}$. Рассмотрим треугольники $MCB$ и $CKD$, они прямоугольные, углы $DMA$ и $DCK$ равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны:
$$\frac{BC}{KD}=\frac{MC}{CD}\Leftrightarrow MC=CD\frac{BC}{KD}=CD\frac{7}{7}\Leftrightarrow MC=CD$$
$$\frac{BC}{KD}=\frac{MC}{CD}\Leftrightarrow MC=CD\frac{BC}{KD}=$$
$$=CD\frac{7}{7}\Leftrightarrow MC=CD$$
$$ME^2=MD\cdot MC=(MC+CD)\cdot MC=(CD+CD)\cdot CD=2CD^2$$
$$ME^2=MD\cdot MC=(MC+CD)\cdot MC=$$
$$=(CD+CD)\cdot CD=2CD^2$$
Откуда $ME=\sqrt{2CD^2}=CD\sqrt{2}$. Рассмотрим треугольники $MEF$ и
$MAD$, они прямоугольные, $\angle BMC$ — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Значит, $\angle MEF$ и $\angle ADM$ равны, а значит, $cos\angle MEF=cos \angle ADM$. Найдем $EF$ из прямоугольного треугольника $MEF$:
$$EF=ME~cos \angle MEF=ME~cos \angle ADM=\frac{7ME}{CD}=\frac{7CD\sqrt{2}}{CD}=7\sqrt{2}$$
$$EF=ME~cos \angle MEF=ME~cos \angle ADM=$$
$$=\frac{7ME}{CD}=\frac{7CD\sqrt{2}}{CD}=7\sqrt{2}$$