ДВИ МГУ 2014 по математике.
Задача 1:
Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением:
$$\sqrt{7-4\sqrt{3}}(8+4\sqrt{3})$$
Задача 2:
Найдите максимальное значение функции:
$$log_{1/2}(x^2-6x+17)$$
Задача 3:
Найдите все положительные x, удовлетворяющие неравенству:
$$x^{3x+7}\gt x^{12}$$
Задача 4:
Решите уравнение:
$$cos^2x-cos~x~sin^2\left( \frac{5x}{4}-\frac{5\pi}{12} \right)+\frac{1}{4}=0$$
Задача 5:
Окружности Ω1 и Ω2 с центрами в точках O1 и O2 касаются внешним образом в точке A. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается Ω1 и Ω2 и соответственно в точках B1 и B2. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку A, пересекает отрезок B1B2 в точке C. Прямая, делящая ∠ ACO2 пополам, пересекает прямые O1B1, O1O2, O2B2 в точках D1, L, D2 соответственно. Найдите отношение BD2 : O2D2, если известно, что СВ1 = СO1.
Задача 6:
Найдите положительные x, y, удовлетворяющие системе уравнений:
$$\begin{cases}x^{3/2}+y=16\\x+y^{2/3}=8\end{cases}$$
Задача 7:
В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 1. Высота призмы равна $\sqrt{2}$. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями боковых граней.
Задача 8:
Пусть:
Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.
$$f(x,y)=\sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}+y$$$$g(x,y)=-\sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}+y$$
Видеоразбор по теме: ДВИ МГУ по математике.
Ответы:
1)4; 2)-3; 3)$(0;1)\cup\left( \frac{5}{3};+\infty\right)$; 4)$\frac{7\pi}{3}+4\pi{n},n\in \mathbb{Z}$; 5)1:1; 6)x = 4, x = 8; 7)$\frac{\sqrt{2}}{3}$; 8)$[-3\sqrt{2};3\sqrt{2}]$.