ДВИ МГУ по математике. 3 поток.
Посвящается моему ученику, который сдавал этот экзамен в 2023 году и пробился на бюджет Экономического факультета МГУ. Это результат упорной ежедневной совместной работы на протяжении полутора лет.
Задача 1:
Найдите ƒ (3/5), если:
$$f(x)=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{\frac{8}{3}+\frac{1}{x^2}}$$
Задача 2:
Дана последовательность a1, a2, a3, … действительных чисел. Найдите a1, если известно, что a8 = 8 и что для любого индекса n справедливо равенство:
$$a_{n+1}= ^7 \sqrt{2}\cdot a_n+(^7\sqrt{2}-1)n-1$$
Задача 3:
Решите неравенство:
$$(\sqrt{x})^{3+log_3x}\ge 3^{1+log_3x}$$
Задача 4:
Решите уравнение:
$$\frac{\sqrt{3}}{sin~x}-\frac{1}{cos~x}=4$$
Задача 5:
На сторонах AB, BC, CD, AD вписанного в окружность четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки E, F, G, H. Известно, что AE = EB, 2BF = FC, CG = GD, DH = 2HA и что площадь четырёхугольника ABCD в два раза больше площади четырёхугольника EFGH. Найдите отношение AC : BD.
Задача 6:
Найдите наименьшее возможное значение выражения:
$$\frac{c-b}{a + 2b + c}+\frac{2b}{a + b + 2c}-\frac{4c}{a + b + 3c}$$
при положительных a, b, c.
Задача 7:
Расстояния от (внутренней) диагонали прямоугольного параллелепипеда до его рёбер, не имеющих с этой диагональю общих точек, равные $\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\sqrt{\frac{3}{2}}$, $\sqrt{\frac{6}{5}}$. Найдите объём этого параллелепипеда.