ДВИ 2023 по математике
1-й поток (вариант 231)
Задача 1
Найдите наименьшее целое число, превосходящее $\frac{\sqrt{8}}{\frac{\sqrt{2}}{20}+\frac{\sqrt{2}}{23}}$.
Ответ
22
Решение
$$\frac{\sqrt{8}}{\frac{\sqrt{2}}{20}+\frac{\sqrt{2}}{23}}=\frac{2\cdot 20\cdot 23}{20+23}=\frac{920}{43}=20+\frac{60}{43}=22-\frac{26}{43}.$$
$$\frac{\sqrt{8}}{\frac{\sqrt{2}}{20}+\frac{\sqrt{2}}{23}}=\frac{2\cdot 20\cdot 23}{20+23}=\frac{920}{43}=$$
$$=20+\frac{60}{43}=22-\frac{26}{43}.$$
Задача 2
Дана последовательность $a_0,a_1,a_2,…$ действительных чисел. Найдите $a_8$, если известно, что $a_1=1$ и что для любой пары индексов $n,m,$ таких что $n\ge m\ge 0$, справедливо равенство $a_{n+m}+a_{n-m}=2(a_n+a_m)$.
Ответ
64
Решение
При $m=0$ имеем $a_n+a_n=2(a_n+a_0)$, откуда следует, что $a_0=0$. Далее при $m=n$ имеем $a_{2n}+a_0=2(a_n+a_n)$, откуда следует, что $a_{2n}=4a_n$ для любого $n\ge 0$. Стало быть, $a_8=4^3a_1=64$.
Задача 3
Решите неравенство:
$$x^{log_3\sqrt{x}}\gt 9.$$
Ответ
$$x\in \left( 0,\frac{1}{9} \right)\cup (9,+\infty)$$
Решение
$$x^{log_3\sqrt{x}}\gt 9\Longleftrightarrow 3^{\frac{1}{2}log\frac{2}{3}x}\gt 3^2\Longleftrightarrow |log_3~x|\gt 2\Longleftrightarrow x\in \left( 0,\frac{1}{9} \right)\cup (9,+\infty)$$
$$x^{log_3\sqrt{x}}\gt 9\Longleftrightarrow 3^{\frac{1}{2}log\frac{2}{3}x}\gt 3^2\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow |log_3~x|\gt 2\Longleftrightarrow$$
$$\Longleftrightarrow x\in \left( 0,\frac{1}{9} \right)\cup (9,+\infty).$$
Задача 4
Решите уравнение:
$$cos~3x+2sin~2x+2cos~x=0$$
Ответ
Решение
$$cos~3x+2~sin~2x+2~cos~x=0\Longleftrightarrow cos~2x~cos~x-sin~2x~sin~x+4~sin~x~cos~x +2~cos~x=0\Longleftrightarrow $$
$$cos~3x+2~sin~2x+2~cos~x=0\Longleftrightarrow$$
$$\Longleftrightarrow cos~2x~cos~x-sin~2x~sin~x+ $$
$$+4~sin~x~cos~x +2~cos~x=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos~x(cos~2x-2~sin^2~x+4~sin~x+2)=0\Longleftrightarrow cos~x(3-4~sin^2~x+4~sin~x)=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos~x(cos~2x-2~sin^2~x+4~sin~x+ $$
$$+2)=0\Longleftrightarrow$$
$$\Longleftrightarrow cos~x(3-4~sin^2~x+4~sin~x)=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos~x(sin^2~x-sin~x-\frac{3}{4})=0\Longleftrightarrow cos~x(sin~x+\frac{1}{2})(sin~x-\frac{3}{2})=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos~x(sin^2~x-sin~x-\frac{3}{4})=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos~x(sin~x+\frac{1}{2})(sin~x-\frac{3}{2})=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} cos~x=0 \\ sin~x=-\frac{1}{2} \end{gathered} \right.\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+(k+1)\pi \end{gathered} \right.~~,~k\in\mathbb{Z}.$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} cos~x=0 \\ sin~x=-\frac{1}{2} \end{gathered} \right.\Longleftrightarrow$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+(k+1)\pi \end{gathered} \right.~~,~k\in\mathbb{Z}.$$
Задача 5
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AF$, $BD$ и $CE$. Найдите все возможные значения разности углов $\angle A$ и $\angle B$ треугольника, если известно, что $DE : EF = BC : AC$.
Ответ
0°
Решение
По теореме синусов для треугольника $CDE$ имеем
$$\frac{DE}{sin\angle DCE}=\frac{DC}{sin\angle DEC}.$$
Далее, поскольку четырехугольник $BCDE$ вписанный, имеем $\angle DEC=\angle DBC$. Стало быть,
$$\frac{DE}{sin\angle DCE}=\frac{DC}{sin\angle DBC}=BC.$$
Последнее равенство справедливо, поскольку треугольник $DBC$ прямоугольный. Из прямоугольного же треугольника $ACE$ видим, что $sin\angle DCE=cos\angle A$. Получаем
$$DE=BCsin\angle DCE=BCcos\angle A.$$
Аналогично, $EF=ACcos\angle B$. Стало быть,
$$\frac{cos\angle A}{cos\angle B}=\frac{DE\cdot AC}{BC\cdot EF}=1$$
Таким образом, $cos\angle A=cos\angle B$, откуда $\angle A=\angle B$. То есть $\angle A-\angle B=0^\circ$.
Задача 6
Положительные числа $a,b,c,$ удовлетворяют соотношению
$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1.$$
Найдите наибольшее возможное значение выражения
$$\frac{a}{2+a^2}+\frac{b}{2+b^2}+\frac{c}{2+c^2}.$$
Ответ
1
Решение
Положим $x=\frac{1}{1+a},~~~y=\frac{1}{1+b},~~~z=\frac{1}{1+c}$.
Тогда $x+y+z=1$, $a=\frac{1-x}{x},~~~b=\frac{1-y}{y},~~~c=\frac{1-z}{z}$. Далее,
$$\frac{a}{2+a^2}=\frac{\frac{1-x}{x}}{2+\frac{(1-x)^2}{x^2}}=\frac{x-x^2}{3x^2-2x+1}=$$
$$=-\frac{1}{3}+\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{3x^2-2x+1}=-\frac{1}{3}+\frac{\frac{1}{3}(x+1)}{3(x-\frac{1}{3})^2+\frac{2}{3}}\le -\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(x+1)$$
$$=-\frac{1}{3}+\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{3x^2-2x+1}=$$
$$=-\frac{1}{3}+\frac{\frac{1}{3}(x+1)}{3(x-\frac{1}{3})^2+\frac{2}{3}}\le$$
$$\le -\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(x+1).$$
Причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=\frac{1}{3}$. Учитывая же, что $x+y+z=1$, получаем
$$\frac{a}{2+a^2}+\frac{b}{2+b^2}+\frac{c}{2+c^2}\le -1+\frac{1}{2}(x+y+z+3)=-1+2=1$$
$$\frac{a}{2+a^2}+\frac{b}{2+b^2}+\frac{c}{2+c^2}\le $$
$$\le -1+\frac{1}{2}(x+y+z+3)=-1+2=1.$$
И равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=y=z=\frac{1}{3}$, то есть когда $a=b=c=2$.
Задача 7
В правильной треугольной пирамиде $ABCS$ проведено сечение через ребро основания $AB$ перпендикулярно боковому ребру $CS$. Найдите его площадь, если известно, что площадь основания пирамиды равна 3, а площадь каждой боковой грани равна $\sqrt{5}$.
Ответ
$\frac{3}{\sqrt{2}}$
Решение
Обозначим точку пересечения сечения и ребра $CS$ через $D$. Середину ребра $AB$ обозначим через $M$. Поскольку плоскость $SCM$ перпендикулярна $AB$, отрезки $CM$, $DM$ и $SM$ суть высоты треугольников $ABC$, $ABD$ и $ABS$ соответственно. Причем относятся эти высоты друг ко другу в точности, как площади этих треугольников. Рассмотрим треугольник $SCM$. Высота $SH$ этого треугольника совпадает с высотой пирамиды, а $H$ — с центром треугольника $ABC$. Следовательно, $MH:HC=1:2$. Положим $x=MH$. Тогда $CM=3x$, $SM=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot 3x=\sqrt{5}x$, $SH=2x$, $SC=2\sqrt{2}x$. Площадь треугольника $SCM$, стало быть, равна $\frac{3\cdot 2}{2}x^2=3x^2$ и, значит, $DM=\frac{6x^2}{2\sqrt{2}x}=\frac{3}{\sqrt{2}}x$, поскольку $DM$ — высота треугольника $SCM$. Отсюда получаем, что искомая площадь равна
$$3\cdot \frac{\frac{3}{\sqrt{2}}x}{3x}=\frac{3}{\sqrt{2}}.$$