ДВИ 2023 по математике
2-й поток (вариант 233)
Задача 1
Найдите целое число задающееся выражением
$$\frac{3}{\sqrt[4]{16}}+\frac{5}{\sqrt[3]{27}}+\frac{11}{\sqrt{36}}.$$
Ответ
5
Решение
$$\frac{3}{\sqrt[4]{16}}+\frac{5}{\sqrt[3]{27}}+\frac{11}{\sqrt{36}}=\frac{3}{2}+\frac{5}{3}+\frac{11}{6}=\frac{9+10+11}{6}=\frac{30}{6}=5$$
$$\frac{3}{\sqrt[4]{16}}+\frac{5}{\sqrt[3]{27}}+\frac{11}{\sqrt{36}}=\frac{3}{2}+\frac{5}{3}+\frac{11}{6}=$$
$$=\frac{9+10+11}{6}=\frac{30}{6}=5$$
Задача 2
Последовательность $a_1,~a_2,~a_3,…$ получается из последовательности натуральных чисел вычеркиванием всех полных квадратов (то есть $a_1=2,$ $a_2=3,$ $a_3=5,$ $a_4=6,$ $a_5=7,$ $a_6=8,$ $a_7=10,$ и т.д.). Найдите $a_{2023}$.
Ответ
2068
Решение
Для каждых натуральных $n,~m,$ таких что $m^2\lt n\lt (m+1)^2$, справедливо $n=a_{n-m}$. Стало быть, для каждого $n$, удовлетворяющего условию $45^2=2025\lt n\lt 2116=46^2$, справедливо $n=a_{n-45}$. Поскольку $n-45=2023$ при $n=2068$, получаем $a_{2023}=2068$.
Задача 3
Решите неравенство
$$log_{\sqrt{3-x}}(3+x)\le 2.$$
Ответ
$$x\in (-3,0]\cup (2,3)$$
Решение
$$log_{\sqrt{3-x}}(3+x)\le 2\Longleftrightarrow log_{3-x}(3+x)\le 1\Longleftrightarrow $$
$$log_{\sqrt{3-x}}(3+x)\le 2\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow log_{3-x}(3+x)\le 1\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} 3-x\gt1 \\ 0\lt3+x\le 3-x \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt3-x\lt1 \\ 3+x\ge 3-x \end{cases} \end{gathered} \right.\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x\lt 2 \\ x\gt -3 \\ x\le 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\lt 3 \\ x\gt2 \\ x\ge 0 \end{cases} \end{gathered} \right.\Longleftrightarrow x\in (-3,0]\cup (2,3). $$
Задача 4
Решите уравнение
$$cos^4x-cos\left( x+\frac{\pi}{3} \right)cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=2sin\left( x+\frac{\pi}{6}\right)sin\left( x-\frac{\pi}{6} \right).$$
$$cos^4x-cos\left( x+\frac{\pi}{3} \right)cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=$$
$$=2sin\left( x+\frac{\pi}{6}\right)sin\left( x-\frac{\pi}{6} \right).$$
Ответ
Решение
$$cos^4x-cos\left( x+\frac{\pi}{3} \right)cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=2sin\left( x+\frac{\pi}{6}\right)sin\left( x-\frac{\pi}{6} \right)\Longleftrightarrow $$
$$cos^4x-cos\left( x+\frac{\pi}{3} \right)cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=$$
$$=2sin\left( x+\frac{\pi}{6}\right)sin\left( x-\frac{\pi}{6} \right)\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos^4x-cos\left( x+\frac{\pi}{3} \right)cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=2cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)cos\left(\frac{2\pi}{3}-x \right)\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos^4x-cos\left( x+\frac{\pi}{3} \right)cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=$$
$$=2cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)cos\left(\frac{2\pi}{3}-x \right)\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos^4x-cos\left( x+\frac{\pi}{3} \right)cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=-2cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{3} \right)\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos^4x-cos\left( x+\frac{\pi}{3} \right)cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=$$
$$=-2cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{3} \right)\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos^4x+cos\left( x+\frac{\pi}{3} \right)cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=0\Longleftrightarrow cos^4x+\frac{1}{2}\left( cos2x+cos\frac{2\pi}{3} \right)=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos^4x+cos\left( x+\frac{\pi}{3} \right)cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=$$
$$=0\Longleftrightarrow cos^4x+\frac{1}{2}\left( cos2x+cos\frac{2\pi}{3} \right)=$$
$$=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos^4x+cos^2x-\frac{3}{4}=0\Longleftrightarrow \left( cos^2x-\frac{1}{2}\right)\left( cos^2x+\frac{3}{2} \right)=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos^4x+cos^2x-\frac{3}{4}=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow \left( cos^2x-\frac{1}{2}\right)\left( cos^2x+\frac{3}{2} \right)=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow cos~x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\Longleftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},~k\in \mathbb{Z}.$$
$$\Longleftrightarrow cos~x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},~k\in \mathbb{Z}.$$
Задача 5
Прямая $\ell$ касается окружности, описанной около треугольника $ABC$, в точке $A$. Известно, что $AB\gt AC$ и что $AC=1$. На стороне $AB$ отмечена точка $D$ так, что $AD=AC$. Прямая проходящая чрез точку $D$ и через центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, пересекает прямую $\ell$ в точке $E$. Найдите длину отрезка $AE$.
Ответ
1
Решение
Пусть $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Поскольку $AD=AC$, точка $I$ лежит и на биссектрисе, и на высоте треугольника $ADC$. Следовательно, $\angle ADI=\angle ACI=\frac{1}{2}\angle ACB$. Далее, поскольку $\ell$ касательная, $\angle EAC=\angle ABC$. Отсюда следует, что $\angle AED+\angle ADE=$$180^\circ-\angle DAE=$$180^\circ -(\angle DAC+\angle EAC)=$$180^\circ -(\angle BAC+\angle ABC)=$$\angle ACB=$$2\angle ACI=$$2\angle ADE$. Стало быть, $\angle AED=\angle ADE$, то есть треугольник $AED$ равнобедренный и $AE=AD=AC=1$.
Задача 6
Положительные числа $a,~b,~c$ удовлетворяют соотношению $a^2+b^2+c^2=1$.
Найдите наибольшее возможное значение выражения $ab+bc\sqrt{3}$.
Ответ
1
Решение
В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим
$$ab+bc\sqrt{3}=\sqrt{a^2b^2}+\sqrt{3b^2c^2}=2\cdot\sqrt{a^2\cdot\frac{1}{4}b^2}+2\cdot\sqrt{\frac{3}{4}b^2\cdot c^2}\le $$
$$\le \left( a^2+\frac{1}{4}b^2 \right)+\left( \frac{3}{4}b^2+c^2 \right)=a^2+b^2+c^2=1$$
$$ab+bc\sqrt{3}=\sqrt{a^2b^2}+\sqrt{3b^2c^2}=$$
$$=2\cdot\sqrt{a^2\cdot\frac{1}{4}b^2}+2\cdot\sqrt{\frac{3}{4}b^2\cdot c^2}\le $$
$$\le \left( a^2+\frac{1}{4}b^2 \right)+\left( \frac{3}{4}b^2+c^2 \right)=$$
$$=a^2+b^2+c^2=1$$
При этом равенство достигается при $a^2=\frac{1}{4}b^2$ и $\frac{3}{4}b^2=c^2$, то есть при $a=\frac{1}{2}b$ и $c=\frac{\sqrt{3}}{2}b$. При выполнении этих равенств имеем $1=a^2+b^2+c^2=2b^2$, откуда $b=\frac{1}{\sqrt{2}},~a=\frac{1}{2\sqrt{2}},~c=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ и $ab+bc\sqrt{3}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$.
Задача 7
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания равной 1, если известно, что плоские углы при вершине равны углам наклона боковых ребер к плоскости основания.
Ответ
Решение
Обозначим через $S$ вершину пирамиды и через $H$ центр основания. Пусть $AB$ — одно из ребер основания и $M$ — его середина. По условию $\angle ASB=\angle SAH$. Обозначим этот угол $\varphi$. Тогда
$$\angle SAM =\frac{\pi}{2}-\angle ASM=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\angle ASB=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\varphi
$$
$$\angle SAM =\frac{\pi}{2}-\angle ASM=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\angle ASB=$$
$$=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\varphi$$
С другой стороны,
$$cos\angle SAM=\frac{AM}{AS}=\frac{AM}{AH}\cdot \frac{AH}{AS}=$$
$$=cos\angle HAM\cdot cos\angle SAH=\frac{1}{\sqrt{2}}cos \varphi$$
Получаем $cos \varphi=\sqrt{2}sin\frac{\varphi}{2}$, т.е.
$$2sin^2\frac{\varphi}{2}+\sqrt{2}sin\frac{\varphi}{2}-1=0$$
Отсюда $sin\frac{\varphi}{2}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{10}}{4}$ (ибо $\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{10}}{4}\lt -1$), $cos\varphi=\sqrt{2}sin\frac{\varphi}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},~sin\varphi=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ (берем положительный, ибо $0\lt \varphi \lt \frac{\pi}{2}$), $tg\varphi = \sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-1}}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.
Стало быть, объем пирамиды равен
$$\frac{1}{3}AB^2SH=\frac{1}{3}AB^2AH~tg~\varphi=\frac{1}{3\sqrt{2}}AB^3tg~\varphi=\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{6}.$$
$$\frac{1}{3}AB^2SH=\frac{1}{3}AB^2AH~tg~\varphi=$$
$$=\frac{1}{3\sqrt{2}}AB^3tg~\varphi=\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=$$
$$=\frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{6}.$$