ДВИ МГУ по математике
5-й поток (вариант 236)
Задача 1
Найдите $f\left( \frac{1}{2} \right)$, если
$$f(x)=\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{\frac{2}{3}} \right)\left( \sqrt{5x-1}-\sqrt{\frac{2}{3}} \right).$$
$$f(x)=\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{\frac{2}{3}} \right)\left( \sqrt{5x-1}-\sqrt{\frac{2}{3}} \right).$$
Ответ
$$\frac{5}{6}$$
Решение
$$f\left( \frac{1}{2} \right)=\left( \sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}} \right)\left( \sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{2}{3}} \right)=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}.$$
$$f\left( \frac{1}{2} \right)=\left( \sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}} \right)\left( \sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{2}{3}} \right)=$$
$$=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}.$$
Задача 2
Найдите четыре числа $a,~b,~c,~d,$ если известно, что они образуют возрастающую геометрическую прогрессию, что $a+d=28$ и что $b+c=12$.
Ответ
$a=1,~b=3,~c=9,~d=27$
Решение
Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда
$$\begin{cases} a+aq^3=28 \\ aq+aq^2=12 \end{cases}~.$$
Вычтем из первого уравнения, домноженного на 3, второе, домноженное на 7. Получим $3a(1+q^3)-7aq(1+q)=0$, то есть $a(1+q)(3q^2-10q+3)=0$. Поскольку $a\neq 0$ и $q\neq -1$ (иначе ни последовательность не будет возрастающей, ни одно из уравнений системы не будет иметь место), получаем $3q^2-10q+3=0$, то есть $(3q-1)(q-3)=0$. Учитывая еще раз, что последовательность возрастает, получаем $q=3$. Подставляя $q=3$ в любое из двух уравнений, получаем $a=1$. Стало быть, $a=1,~b=3,~c=9,~d=27$.
Задача 3
Решите неравенство $log_x~log_3\left( 2^x-1 \right)\ge 0$.
Ответ
$x\ge 2$
Решение
$$log_x~log_3\left( 2^x-1 \right)\ge 0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{cases} x\gt 1 \\ 2^x-1\ge 3\end{cases}\\ \begin{cases} 0\lt x\lt 1 \\ 1\lt2^x-1\le 3 \end{cases}\end{gathered} \right.\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x\ge 2 \\ \begin{cases} 0\lt x\lt 1 \\ 1\lt x\le 2 \end{cases}\end{gathered} \right.~~~\Longleftrightarrow x\ge 2.$$
Задача 4
Решите уравнение
$$2~cos~2x+\frac{cos~x-cos~3x}{cos~x+cos~3x}=2.$$
Ответ
$$x=k\pi,~\pm \frac{\pi}{6}+k\pi,~k\in \mathbb{Z}$$
Решение
$$ 2~cos~2x+\frac{cos~x-cos~3x}{cos~x+cos~3x}=2\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow \frac{cos~x-cos~3x}{cos~x+cos~3x}-4sin^2x=0\Longleftrightarrow$$
$$\Longleftrightarrow \frac{sin~x~sin~2x}{cos~x~cos~2x}-4sin^2x=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow \frac{sin^2x~cos~x(2-4cos~2x)}{cos~x~cos~2x}=0\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} sin~x=0 \\ cos~2x=\frac{1}{2} \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=k\pi \\ 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2k\pi \end{gathered} \right.~~,~k\in \mathbb{Z}\Longleftrightarrow $$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi}{6}+k\pi \end{gathered} \right.~~,~k\in \mathbb{Z}.$$
Задача 5
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. На его диагонали $AC$ отмечена точка $E$, а на продолжении этой диагонали за точку $C$ отмечена точка $F$ таким образом, что $\angle ADE = \angle CBF$. Найдите $\angle CDF$, если известно, что $\angle ABE =15^\circ$.
Ответ
$$15^\circ$$
Решение
Углы $\angle ADB$ и $\angle ACB$ равны как опирающиеся на одну дугу. При этом $\angle ADB=\angle ADE+\angle EDB$ и $\angle ACB =\angle CBF+ \angle CFB$. Поскольку по условию $\angle ADE=\angle CBF$, получаем $\angle EDB=\angle CFB$. Отсюда следует, что четырехугольник $BFDE$ вписанный. В частности, $\angle BEF=\angle BDF$. При этом $\angle BEF=\angle BAE+\angle ABE$ и $\angle BDF=\angle BDC+\angle CDF$. Поскольку углы $\angle BAE(=\angle BAC)$ и $\angle BDC$ равны как опирающиеся на одну дугу, получаем $\angle CDF=\angle ABE=15^\circ$.
Задача 6
Положительные числа $a,~b,~c$ удовлетворяют соотношению
$$a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}=1.$$
Найдите наименьшее возможное значение выражения $a+b+c$.
Ответ
$$\sqrt{3}$$
Решение
В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим
$$1=a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\le a\cdot \frac{b+c}{2}+b\cdot \frac{c+a}{2}+c\cdot\frac{a+b}{2}=ab+bc+ac.$$
$$1=a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\le $$
$$\le a\cdot \frac{b+c}{2}+b\cdot \frac{c+a}{2}+c\cdot\frac{a+b}{2}=$$
$$=ab+bc+ac.$$
При этом равенство достигается при $a=b=c$. С другой стороны,
$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=$$
$$(a+b+c)^2=$$
$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=$$
$$=\frac{1}{2}\left( (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2) \right)+3(ab+bc+ac)\ge 3(ab+bc+ac).$$
$$=\frac{1}{2}( (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+$$
$$+(a^2-2ac+c^2))+3(ab+bc+ac)\ge $$
$$\ge 3(ab+bc+ac).$$
При этом равенство, опять же, достигается при $a=b=c$. Таким образом,
$$a+b+c\ge\sqrt{3}\cdot\sqrt{ab+bc+ac}\ge\sqrt{3}$$
и равенство достигается при $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Остается убедится, что при таких значениях $a,~b,~c$ данное в условии соотношение также имеет место. Стало быть, наименьшее значение выражения $a+b+c$ равно $\sqrt{3}$.
Задача 7
Дан куб с ребром 1, нижним основанием $ABCD$ и боковыми ребрами $AA_1,$ $BB_1,$ $CC_1,$ $DD_1$. На ребрах $A_1D_1,$ $BB_1,$ $CC_1,$ $AD$ отмечены соответственно точки $K,~L,~M,~N$ так что $A_1K=KD_1,$ $BL:LB_1=7:1,$ $CM:MC_1=DN:NA=4:3$. Найдите площадь сечения тетраэдра $KLMN$, параллельного ребрам $KL$ и $MN$, имеющего форму ромба.
Ответ
Решение
Пусть $c$ — длина стороны ромба, $\alpha$ — его меньший угол. Тогда искомая площадь равна $c^2~sin~\alpha$, причем угол $\alpha$ равен углу между прямыми $KL$ и $MN$.
Найдем $c$. Пусть сечение делит отрезок $KN$ на отрезки длины $x$ и $y$, считая от $K$. Из подобия треугольников получаем
$$c=\frac{x}{x+y}NM=\frac{y}{x+y}KL.$$
Отсюда $x=y\cdot \frac{KL}{NM}$, то есть $c=\frac{1}{\frac{1}{KL}+\frac{1}{NM}}$. По теореме Пифагора
$$KL=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{64}}=\frac{9}{8},~~~NM=\sqrt{1+\frac{16}{49}+\frac{16}{49}}=\frac{9}{7},$$
$$KL=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{64}}=\frac{9}{8},$$
$$NM=\sqrt{1+\frac{16}{49}+\frac{16}{49}}=\frac{9}{7},$$
то есть $c=\frac{3}{5}$.
Найдем угол $\alpha$ — угол между $KL$ и $MN$. Он равен углу между векторами $\left( \frac{1}{2},1,\frac{1}{8} \right)$ и $\left( -\frac{4}{7},1,-\frac{4}{7} \right)$. Их скалярное произведение равно $1-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{8} \right)\cdot \frac{4}{7}=\frac{9}{14}$. Следовательно,
$$cos~\alpha=\frac{9}{14}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{7}{9}=\frac{4}{9}.$$
Соответственно,
$$sin~\alpha=\frac{\sqrt{65}}{9},$$
то есть искомая площадь равна
$$\left( \frac{3}{5} \right)^2\cdot \frac{\sqrt{65}}{9}=\frac{\sqrt{13}}{5\sqrt{5}}.$$