ДВИ МГУ по математике
6-й поток (вариант 237)
Задача 1
Известно что $x:y=19:17$. Найдите $\frac{x+y}{x-y}$.
Ответ
18
Решение
$$\frac{x+y}{x-y}=\frac{\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}-1}=\frac{\frac{19}{17}+1}{\frac{19}{17}-1}=\frac{19+17}{19-17}=18$$
$$\frac{x+y}{x-y}=\frac{\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}-1}=\frac{\frac{19}{17}+1}{\frac{19}{17}-1}=$$
$$=\frac{19+17}{19-17}=18$$
Задача 2
Возрастающая геометрическая прогрессия $a_1,a_2,a_3,…$ удовлетворяет условиям $a_3-a_1=3, a_7-a_3=60$. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.
Ответ
127
Решение
Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда
$$\begin{cases} a_1(q^2-1)=3 \\ a_1(q^6-q^2)=60 \end{cases}~.$$
Второе уравнение равносильно $a_1q^2(q^2-1)(q^2+1)=60$. Учитывая первое уравнение, получаем $q^4+q^2-20=0$, то есть $(q^2+5)(q^2-4)=0$, откуда $q^2=4$. Стало быть, $q=2$, ибо $q=-2$ противоречит возрастанию прогрессии. Подставляя $q=2$ в любое из двух уравнений, получаем $a_1=1$. Стало быть, $a_n=2^{n-1}$ для любого $n\ge 1$, то есть искомая сумма равна $1+2+2^2+2^3+…+2^6=2^7-1=127$.
Задача 3
Решите неравенство:
$$log_{x^2-1}(x-1)\ge log_{x^2-1}\sqrt{\frac{x^2}{2}+1}$$
Ответ
$x\in (1,\sqrt{2})\cup [4,+\infty)$
Решение
$$log_{x^2-1}(x-1)\ge log_{x^2-1}\sqrt{\frac{x^2}{2}+1} \Longleftrightarrow $$
$$\left[ \begin{gathered}\begin{cases} x^2-1\gt 1 \\ x-1\ge \sqrt{\frac{x^2}{2}+1} \end{cases}\\\begin{cases} 0\lt x^2-1\lt 1 \\0\lt x-1\le \sqrt{\frac{x^2}{2}+1}\end{cases}\end{gathered} \right.\Longleftrightarrow $$
$$\left[ \begin{gathered}\begin{cases} x\gt \sqrt{2} \\x^2-4x\ge 0 \end{cases}\\\begin{cases} 1\lt x\lt \sqrt{2}\\x^2-4x\le 0\end{cases}\end{gathered} \right.\Longleftrightarrow $$
$$\left[ \begin{gathered}x\ge 4\\1\lt x\lt \sqrt{2}\end{gathered} \right.$$
Задача 4
Решите уравнение:
$$\frac{tg2x+2cos~x}{tg2x-2cos~x}=0$$
Ответ
$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+(k+1)\pi,~k\in \mathbb{Z}$
Решение
Выражения $tg~2x+2cos~x$ и $tg~2x-2cos~x$ отличаются на $4~cos~x$, стало быть, если они одновременно равны нулю, то $cos~x=0$. Легко убедится, что обратное тоже верно. Стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения $tg~2x+2~cos~x$, из которого исключены нули $cos~x$. Преобразуем это выражение:
$$tg~2x+2~cos~x=\frac{2~cos~x(sin~x+cos~2x)}{cos~2x}=$$
$$=\frac{-2~cos~x(2~sin^2~~x-sin~x-1)}{cos~2x}=$$
$$=\frac{-4~cos~x(sin~x-1)(sin~x+\frac{1}{2})}{cos~2x}$$
Если $sin~x=1$, то $cos~x=0$, стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения $sin~x+\frac{1}{2}$, из которого исключены нули $cos~2x$. Но $sin~x+\frac{1}{2}$ и $cos~2x$ одновременно нулю не равны, поскольку если $sin~x=-\frac{1}{2}$, то $cos~2x=1-2~sin^2x=\frac{1}{2}$. Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению $sin~x=-\frac{1}{2}$. То есть $x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+(k+1)\pi,~k\in \mathbb{Z}$.
Задача 5
Вписанная в прямоугольный треугольник $ABC$ окружность касается катетов $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $F$. Найдите $sin\angle CBD$, если известно, что $sin \angle CAF=1/ \sqrt{10}$.
Ответ
$1/\sqrt{17}$
Решение
Положим $CD = x$, $BF = y$, $AD = z$. Тогда $CF = x$, $BE = y$, $AE = z$, где $E$ — точка касания окружности с гипотенузой. По теореме Пифагора $(x+y)^2+(x+z)^2=(y+z)^2$.
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем $x^2+xy+xz=yz$ или, что то же самое, $\frac{x}{y}\cdot \frac{x}{z}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}=1$. Раскладывая на множители, получаем
$$\left( \frac{x}{y}+1 \right)\left( \frac{x}{z}+1 \right)=2$$
По условию $sin\angle CAF = 1/\sqrt{10}$. Тогда $cos\angle CAF = 3/\sqrt{10}$ и $tg\angle CAF = 1/3$. Стало быть, $x/(x+z)=1/3$, откуда $z=2x$. Подставляя $\frac{x}{z}=\frac{1}{2}$ в полученное выше соотношение, получаем $y=3x$. Тогда $tg\angle CBD = 1/4$, откуда $sin\angle CBD = 1/\sqrt{17}$.
Задача 6
Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению $abc=(a-1)(b-1)(c-1)$. Найдите наименьшее возможное значение выражения $a^2+b^2+c^2$.
Ответ
1
Решение
Заметим, что данное в условии соотношение равносильно равенству
$ab+bc+ac=a+b+c-1$
Стало быть, $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=$$~(a+b+c)^2-2(a+b+c-1)=$$~(a+b+c-1)^2+1\ge1$
Стало быть, $a^2+b^2+c^2=$
$=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=$
$=(a+b+c)^2-2(a+b+c-1)=$
$=(a+b+c-1)^2+1\ge1$
При этом равенство достигается при $a+b+c=1$, например, при $a=b=0$ и $c=1$. Нетрудно заметить, что при таких значениях $a,b,c$ равенство, данное в условии, имеет место. Стало быть, наименьшее значение выражения $a^2+b^2+c^2$ равно 1.
Задача 7
Ребро основания правильной треугольной пирамиды равно $\sqrt6$, высота пирамиды равна $\sqrt7$. Плоскость $\pi$ перпендикулярна одному из ребер пирамиды и делит его в отношении 1 : 2, считая от вершины. Найдите отношение, в котором плоскость $\pi$ делит объем пирамиды.
Ответ
1 : 11
Решение
Обозначим через $A, B, C, S$ вершины пирамиды, так что $ABC$ — ее основание, а плоскость $\pi$ перпендикулярна ребру $SA$. Поскольку $\pi~\bot SA$ и $BC \bot SA$, имеем $\pi\parallel BC$. Стало быть, $\pi$ пересекает плоскость $BCS$ по прямой, параллельной $BC$, и делит ребра $SB$ и $SC$ (или их продолжения) в одинаковом отношении. Найдем это отношение.
Обозначим через $H$ основание высоты пирамиды и через $M$ — середину ребра $BC$. Тогда
$$AM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2},$$
$$AH=\frac{2}{3}AM=\sqrt{2}.$$
Пусть K — точка пересечения $\pi$ и $SA$, $L$ — точка пересечения $\pi$ с прямой $AM$, $N$ — точка пересечения прямых $LK$ и $SM$. Тогда $AK = 2KS$, причем $\angle AKL = 90^\circ$. Из подобия треугольников $ALK$ и $ASH$ получаем:
$$\frac{AH}{\sqrt{AH^2+SH^2}}=\frac{\frac{2}{3}\sqrt{AH^2+SH^2}}{AL},$$
откуда
$$AL=\frac{\frac{2}{3}(2+7)}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}=2AM.$$
Итак, $M$ — середина $AL$. Обозначим через $P$ середину $AK$. Тогда $LK || MP$, откуда $SN = NM$, ибо $SK = KP$. Таким образом, плоскость $\pi$ проходит через середины ребер $SB$ и $SC$. Следовательно, $\pi$ отсекает от пирамиды $ABCS$ пирамиду, объем которой равен $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{12}$ объема пирамиды $ABCS$. То есть $\pi$ делит объем исходной пирамиды в отношении 1 : 11.