ДВИ МГУ 2024 по математике. 7 поток.
Задача 1:
Найдите целое число, задаваемое выражением:
$$16^{(1+sin(\pi/3))(1-cos(\pi/6))}$$
Задача 2:
Натуральные числа a и b таковы, что число а + 2b делится на 5, а число a + 5b делится на 2. Найдите наименьшее значение суммы a + b.
Задача 3:
Решите неравенство:
$$log_xlog_7(7^{2x}-20)\ge 1$$
Задача 4:
Решите уравнение:
$$sin~x+sin~2x = cos~x+cos~2x$$
Задача 5:
На биссектрисе AL треугольника ABC отмечена точка M. Пусть A′,B′,C′ – точки пересечения окружности, описанной около треугольника ABC, с прямыми AM, BM, CM соответственно, отличные от точек A, B, C. Пусть P – точка пересечения отрезков AB и A′C′ и пусть Q – точка пересечения отрезков AC и A′B′. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника APQ, если известно, что BC : PQ = 3.
Задача 6:
Действительные числа a, b, c удовлетворяют соотношениям a + b + c = 4 и a2 + b2 + c2 = 8. Найдите наибольшее возможное значение с.
Задача 7:
Дан куб ABCDA′B′C′D′ с основанием ABCD и боковыми ребрами AA′, BB′, CC′, DD′. На ребрах A′B′, BC, CD, A′D′ отмечены соответственно точки K, L, M, N, так что A′K = BL и A′N = DM. Найдите все возможные значения угла между прямыми пересечения плоскости A′BD с плоскостями AKM и ANL.
Видеоразбор по теме: ДВИ МГУ по математике 7 поток.
Ответы:
1) 2; 2) 4; 3) $x\in (log_7\sqrt{21};log_7~5]\cup(1;+\infty)$; 4) $\pi+2\pi{n};~\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}\pi{k},~n,~k\in Z$; 5) 9; 6) $с=\frac{8}{3}$; 7) $60^\circ$.