ЕГЭ по математике 2024. Основная волна. Центр.
Задача 1
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $75^\circ$, угол $CAD$ равен $35^\circ$. Найдите угол $ABC.$ Ответ дайте в градусах.
Решение
$$\angle ABC=\frac{1}{2}\cup ADC=\frac{1}{2}(\cup AD+\cup CD)=\angle ABD+\angle CAD=110^\circ.$$
$$\angle ABC=\frac{1}{2}\cup ADC=$$
$$=\frac{1}{2}(\cup AD+\cup CD)=$$
$$=\angle ABD+\angle CAD=110^\circ.$$
Ответ: $110$.
Ответ
$110$
Задача 2
Решение
Найдем координаты вектора $1,2\vec{a}-0,7\vec{b}:$
$1,2\vec{a}-0,7\vec{b}=(1,2\cdot 3-0,7\cdot 8;~1,2\cdot 7-0,7\cdot 9)=(-2;~2,1).$
$1,2\vec{a}-0,7\vec{b}=$
$=(1,2\cdot 3-0,7\cdot 8;~1,2\cdot 7-0,7\cdot 9)=$
$=(-2;~2,1).$
Длина вектора равна:
$|1,2\vec{a}-0,7\vec{b}|=\sqrt{(-2)^2+2,1^2}=\sqrt{4+4,41}=2,9.$
$|1,2\vec{a}-0,7\vec{b}|=\sqrt{(-2)^2+2,1^2}=$
$=\sqrt{4+4,41}=2,9.$
Ответ: $2,9$.
Ответ
$2,9$
Задача 3
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=6,$ $AD=8,$ $AA_1=5.$ Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, D, A_1, B_1, D_1.$
Решение
$$V_{ABCA_1B_1C_1}=S_{ABD}\cdot h=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot AA_1=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot 5=120.$$
$$V_{ABCA_1B_1C_1}=S_{ABD}\cdot h=$$
$$=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot AA_1=$$
$$=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot 5=120.$$
Ответ: $120$.
Ответ
$120$
Задача 4
В группе туристов $20$ человек. С помощью жребия они выбирают $7$ человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Решение
Всего туристов $20,$ случайным образом из них выбирают $7.$ Вероятность быть выбранным равна $7:20=0,35.$
Ответ: $0,35$.
Ответ
$0,35$
Задача 5
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $0,9.$ Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.
Решение
Вероятность промаха по мишени равна $1-0,9=0,1.$ Тогда, вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последующие, равна $0,9\cdot 0,1\cdot 0,1\cdot 0,1=0,0009.$
Ответ: $0,0009$
Ответ
$0,0009$
Задача 6
Найдите корень уравнения $\sqrt{6x-57}=9.$
Решение
Возведем в квадрат обе части уравнения: $6x-57=81 \Leftrightarrow x=23.$
Ответ: $23$.
Ответ
$23$
Задача 7
Найдите значение выражения $5\sqrt{2}\cdot sin\frac{3\pi}{8}\cdot cos\frac{3\pi}{8}.$
Решение
Используем формулу синуса двойного угла $2~cos~\alpha~sin~\alpha=sin~2\alpha:$
$$5\sqrt{2}\cdot sin\frac{3\pi}{8}\cdot cos\frac{3\pi}{8}=2,5\sqrt{2}~sin\left( 2\cdot\frac{3\pi}{8} \right)=2,5\sqrt{2}~sin\frac{3\pi}{4}=2,5\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2,5.$$
$$5\sqrt{2}\cdot sin\frac{3\pi}{8}\cdot cos\frac{3\pi}{8}=$$
$$=2,5\sqrt{2}~sin\left( 2\cdot\frac{3\pi}{8} \right)=$$
$$=2,5\sqrt{2}~sin\frac{3\pi}{4}=$$
$$2,5\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2,5.$$
Ответ: $2,5$.
Ответ
$2,5$
Задача 8
На рисунке изображен график функции $f(x).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x),$ принадлежащих интервалу $(−3; 9).$
Решение
Точки максимума соответствуют точкам, в которых функция перестаёт возрастать и начинает убывать. На интервале $(−3; 9)$ функция имеет четыре точки максимума.
Ответ: $4$.
Ответ
$4$
Задача 9
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v_0=18$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a=2$м/с$^2$. За $t$ — секунд после начала торможения он прошёл путь $S=v_0t-\frac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $77$ метров. Ответ выразите в секундах.
Решение
$$18t-t^2=77\Leftrightarrow t^2-18t+77=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t=7, \\ t=11. \end{gathered} \right.$$
$$18t-t^2=77\Leftrightarrow t^2-18t+77=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t=7, \\ t=11. \end{gathered} \right.$$
Значит, через $7$ секунд после начала торможения автомобиль проедет $77$ метров.
Ответ: $7$.
Ответ
$7$
Задача 10
Один мастер может выполнить заказ за $40$ часов, а другой — за $24$ часа. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
Решение
Обозначим выполняемую работу за $1$. Скорость работы первого мастера $1/40$ работы в час, а второго — $1/24$ работы в час. Время работы равно отношению объёма к скорости её выполнения. Поэтому два мастера, работая вместе, выполнят заказ за
$$\frac{1}{\frac{1}{40}+\frac{1}{24}}=\frac{120}{3+5}=15~\text{часов}.$$
Ответ: $15$.
Ответ
$15$
Задача 11
На рисунке изображён график функции $f(x)=a^x.$ Найдите значение $x,$ при котором $f(x)=32.$
Решение
Из графика находим, что $f(2)=4,$ откуда $a^2=4.$ Учитывая, что $a\gt 0,$ получаем $a=2.$ Тогда $2^x=32\Leftrightarrow x=5.$
Ответ: $5$.
Ответ
$5$
Задача 12
Найдите точку минимума функции $y=2x-ln(x-3)+5.$
Решение
$$y’=2-\frac{1}{x-3}.$$
$$2-\frac{1}{x-3}=0\Leftrightarrow \frac{1}{x-3}=2 \Leftrightarrow x-3=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=3,5.$$
$$2-\frac{1}{x-3}=0\Leftrightarrow \frac{1}{x-3}=2 \Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow x-3=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=3,5.$$
Искомая точка минимума $x=3,5.$
Ответ: $3,5$.
Ответ
$3,5$
Задача 13
а) Решите уравнение $cos~2x-\sqrt{3}~cos(x-\pi)+1=0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \frac{3\pi}{2};3\pi \right].$
Решение
а) Используя формулу приведения $cos(\pi-x)=-cos~x$ и формулу косинуса двойного угла $cos~2x=2~cos^2~x-1,$ получаем:
$$cos~2x-\sqrt{3}~cos(x-\pi)+1=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 2~cos^2~x-1+\sqrt{3}~cos~x+1=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 2~cos^2~x+\sqrt{3}~cos~x=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow cos~x(2~cos~x+\sqrt{3})=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} cos~x=0, \\ cos~x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered} \right. \Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=\frac{\pi}{2}+\pi k, \\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, \\ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k, \end{gathered} \right. ~~~k\in\mathbb{Z}.$$
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[ \frac{3\pi}{2};3\pi \right].$ Получим числа: $\frac{3\pi}{2},~\frac{5\pi}{2},~\frac{17\pi}{6}.$
Ответ: a) $\left\{ \frac{\pi}{2}+\pi k;~\frac{5\pi}{6}+2\pi k;~\frac{7\pi}{6}+2\pi k :~k\in\mathbb{Z} \right\};$ б) $\frac{3\pi}{2},~\frac{5\pi}{2},~\frac{17\pi}{6}.$
Ответ
Задача 14
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины ребер $AB$ и $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R.$ Прямые $RM$ и $RK$ пересекают ребра $AS$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причем $2BL=3LC.$
а) Докажите, что прямые $MK$ и $NL$ пересекаются.
б) Найдите отношенное $AN:NS.$
Решение
а) Рассмотрим плоскость $RML.$ Точка $N$ принадлежит этой плоскости, так как лежит на прямой $RM.$ Точка $K$ лежит на прямой $RL,$ значит, тоже принадлежит плоскости $RML.$ Таким образом, точки $M, N, K$ и $L$ лежат в одной плоскости, и прямые $MK$ и $NL$ не могут быть скрещивающимися. Предположим, что прямая $MK$ параллельна прямой $NL.$ Тогда угол $RMK$ равен углу $RNL$ как соответственные углы при двух параллельных прямых и секущей, и треугольники $RMK$ и $RNL$ подобны по двум углам, поэтому имеем:
$$\frac{RM}{RN}=\frac{RK}{RL}.$$
По построению $RN\lt RM$ и $RK\lt RL,$ то есть в левой части равенства дробь больше $1$, а в правой — меньше $1.$ Получили противоречие, следовательно, прямые $MK$ и $NL$ не являются параллельными. Потому прямые $MK$ и $NL$ пересекаются.
б) Рассмотрим треугольник $SBC$ и прямую $RL,$ по теореме Менелая:
$$\frac{BL}{LC}\cdot \frac{CK}{KS}\cdot \frac{SR}{RB}=1\Leftrightarrow \frac{SR}{RB}=\frac{LC}{BL}\cdot \frac{KS}{CK}=\frac{2}{3}.$$
$$\frac{BL}{LC}\cdot \frac{CK}{KS}\cdot \frac{SR}{RB}=1\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{SR}{RB}=\frac{LC}{BL}\cdot \frac{KS}{CK}=\frac{2}{3}.$$
Рассмотрим треугольник $SAB$ и прямую $RM,$ по теореме Менелая:
$$\frac{AN}{NS}\cdot \frac{SR}{RB}\cdot \frac{BM}{MA}=1\Leftrightarrow \frac{AN}{NS}=\frac{RB}{SR}\cdot \frac{MA}{BM}=\frac{3}{2}.$$
$$\frac{AN}{NS}\cdot \frac{SR}{RB}\cdot \frac{BM}{MA}=1\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{AN}{NS}=\frac{RB}{SR}\cdot \frac{MA}{BM}=\frac{3}{2}.$$
Ответ: б) $3:2$.
Ответ
Задача 15
Решите неравенство:
$$\frac{7^x+7}{7^x-7}+\frac{7^x-7}{7^x+7}\ge \frac{49^x+96}{49^x-49}.$$
Решение
Пусть $t=7^x,$ $t\gt 0,$ тогда:
$$\frac{t+7}{t-7}+\frac{t-7}{t+7}\ge \frac{t^2+96}{t^2-49}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{(t+7)(t+7)+(t-7)(t-7)}{(t-7)(t+7)}-\frac{t^2+96}{(t-7)(t+7)}\ge 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{(t+7)(t+7)+(t-7)(t-7)}{(t-7)(t+7)}-$$
$$-\frac{t^2+96}{(t-7)(t+7)}\ge 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{t^2+14t+49+t^2-14t+49-t^2-96}{(t-7)(t+7)}\ge 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{t^2+14t+49+t^2-14t+49-t^2-96}{(t-7)(t+7)}\ge 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{t^2+2}{(t-7)(t+7)}\ge 0\underset{t\gt0}{\Leftrightarrow}\frac{1}{t-7}\gt 0\Leftrightarrow t\gt 7.$$
$$\Leftrightarrow \frac{t^2+2}{(t-7)(t+7)}\ge 0\underset{t\gt0}{\Leftrightarrow}\frac{1}{t-7}\gt 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow t\gt 7.$$
Вернёмся к исходной переменной, получим $7^x\gt 7,$ откуда $x\gt 1.$
Ответ: $(1;+\infty)$.
Ответ
$(1;+\infty)$
Задача 16
В июле $2023$ года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $65 500$ рублей больше суммы, взятой в кредит?
Решение
Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, а ежегодная выплата равна $x$ рублей. Каждый январь долг увеличивается на $25\%,$ то есть в $k=1,25$ раз. Заполним таблицу.
|
Год (номер года)
|
Долг в январе, руб.
|
Выплат, руб.
|
Долг в июле, в руб.
|
|---|---|---|---|
|
|
|
||
Выразим $S$:
$$k(k(kS-x)-x)-x=0\Leftrightarrow k^3S-x(k^2+k+1)=0\Leftrightarrow $$
$$k(k(kS-x)-x)-x=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow k^3S-x(k^2+k+1)=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow S=\frac{x(k^2+k+1)}{k^3}\Leftrightarrow S=\frac{x(k^3-1)}{k^3(k-1)}.$$
$$\Leftrightarrow S=\frac{x(k^2+k+1)}{k^3}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow S=\frac{x(k^3-1)}{k^3(k-1)}.$$
Тогда, учитывая, что $k=1,25=\frac{5}{4},$ получаем:
$$S=\frac{\left( \frac{5}{4} \right)^3-1}{\left( \frac{5}{4} \right)^3\left( \frac{5}{4}-1 \right)}x=\frac{\frac{125}{64}-1}{\frac{125}{64}\cdot \frac{1}{4}}x=\frac{4\cdot 61\cdot 64}{125\cdot 64}x=\frac{244x}{125}.$$
$$S=\frac{\left( \frac{5}{4} \right)^3-1}{\left( \frac{5}{4} \right)^3\left( \frac{5}{4}-1 \right)}x=\frac{\frac{125}{64}-1}{\frac{125}{64}\cdot \frac{1}{4}}x=$$
$$=\frac{4\cdot 61\cdot 64}{125\cdot 64}x=\frac{244x}{125}.$$
Сумма выплат на $65 500$ рублей больше суммы, взятой в кредит. Значит, $3x-65500=S,$ откуда $x=\frac{S+65500}{3}.$ Подставив это значение, получаем уравнение:
$$S=\frac{\frac{S+65500}{3}\cdot244}{125}\Leftrightarrow 375S=244S+244\cdot 65500\Leftrightarrow 131S=244\cdot 65500\Leftrightarrow S=244\cdot 500\Leftrightarrow S=122000~\text{рублей}.$$
$$S=\frac{\frac{S+65500}{3}\cdot244}{125}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 375S=244S+244\cdot 65500\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 131S=244\cdot 65500\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow S=244\cdot 500\Leftrightarrow S=122000~\text{рублей}.$$
Ответ: $122000$.
Ответ
$122000$
Задача 17
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB=CD=3$ и $BC=DE=4.$
а) Докажите, что $AC=CE.$
б) Найдите длину диагонали $BE,$ если $AD=6.$
Решение
а) Дуги, стягиваемые равными хордами, равны, поэтому равны углы $BAC$ и $DCE$ и $BCA$ и $DEC$ (см. рис. 1). В треугольнике сумма углов $180^\circ,$ а, значит, углы $ABC$ и $CDE$ также равны. Тогда треугольники $ABC$ и $CDE$ равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, $AC=CE.$
Рис. 1
Рис. 2
б) Пусть $AD$ пересекается с $BE$ в точке $M$ (см. рис. 2). Дуги, стягиваемые равными хордами, равны, поэтому углы $DCE$ и $BEC$ равны. Следовательно, прямая $CD$ параллельна прямой $BE.$ Аналогично прямая $BC$ параллельна прямой $AD.$ Значит, $BCDM$ — параллелограмм, а потому $BC=DM=4$ и $CD=BM=3.$ По свойству пересекающихся хорд получаем:
$$BM\cdot ME=DM\cdot MA \Leftrightarrow BM\cdot ME=DM(AD-DM),$$
$$BM\cdot ME=DM\cdot MA \Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow BM\cdot ME=DM(AD-DM),$$
откуда $ME=\frac{8}{3}.$ Таким образом, $BE=BM+ME,$ следовательно, $BE=\frac{17}{3}.$
Ответ: б) $\frac{17}{3}$.
Ответ
$$\text{б)}~\frac{17}{3}.$$
Задача 18
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений
Решение
Перепишем второе уравнение: $y=\pm(x^2-4x),$ его графиком являются две параболы, симметричные относительно оси абсцисс, с общими точками $(0; 0)$ и $(4; 0)$.
Найдём такие $a,$ при которых прямая $y=a-x$ является касательной к графику $y=x^2-4x.$ Решим соответствующее уравнение и найдём нуль дискриминанта:
$$x^2-4x=a-x\Leftrightarrow x^2-3x-a=0;$$
Дискриминант $D_1=9+4a,$ он равен нулю при $a=-\frac{9}{4},$ откуда $x=\frac{3}{2},$ $y=-\frac{15}{4}.$
Аналогично найдём такие $a,$ при которых прямая $y=a-x$ является касательной к графику $y=-(x^2-4x):$
$$-(x^2-4x)=a-x\Leftrightarrow x^2-5x+a=0;$$
Дискриминант $D_2=25-4a,$ он равен нулю при $a=\frac{25}{4},$ откуда $x=\frac{5}{2},$ $y=\frac{15}{4}.$
Если $a\lt -\frac{9}{4},$ то у прямой $y=a-x$ нет общих точек с графиком $y=x^2-4x,$ а с графиком $y=-(x^2-4x)$ — две общие точки.
Если $a=-\frac{9}{4},$ то у прямой $y=a-x$ одна общая точка $\left( \frac{3}{2};-\frac{15}{4} \right)$ с графиком $y=x^2-4x,$ но эта же точка является точкой внутренней области графика $y=-(x^2-4x),$ значит, будет $3$ общих точки.
Если $-\frac{9}{4}\lt a\lt \frac{25}{4},$ то прямая $y=a-x$ пересекает каждую параболу в двух точках, которые не могут совпасть полностью, так как это происходит в точках $(0; 0)$ и $(4; 0),$ поэтому будет минимум $3$ решения.
Если $a=\frac{25}{4},$ то у прямой $y=a-x$ одна общая точка $\left( \frac{5}{2};\frac{15}{4} \right)$ с графиком $y=-(x^2-4x),$ но эта же точка является точкой внутренней области графика $y=x^2-4x,$ значит, будет $3$ общих точки.
Если $a\gt \frac{25}{4},$ то у прямой $y=a-x$ нет общих точек с графиком $y=-(x^2-4x),$ а с графиком $y=x^2-4x$ — две общие точки.
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два решения при $a\in \left( -\infty;-\frac{1}{4} \right)\cup \left( \frac{9}{4};+\infty \right).$
Ответ: $\left(-\infty;-\frac{9}{4} \right)\cup \left( \frac{25}{4};+\infty \right).$
Приведём другое решение.
Перепишем второе уравнение: $y=\pm(x^2-4x),$ то есть необходимо, чтобы уравнение $a-x=\pm(x^2-4x)$ имело равно два различных решения.
$$x^2-4x=\pm(a-x)\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x^2-3x-a=0,~~~(1) \\ x^2-5x+a=0.~~~(2) \end{gathered} \right.$$
$$x^2-4x=\pm(a-x)\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x^2-3x-a=0,~~~(1) \\ x^2-5x+a=0.~~~(2) \end{gathered} \right.$$
Дискриминант уравнения $(1)$ равен $D_1=9+4a,$ его корни $x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{9+4a}}{2},$ дискриминант уравнения $(2)$ равен $D_2=25-4a,$ его корни $x_{3,4}=\frac{5\pm \sqrt{25-4a}}{2}.$
1) Первое уравнение не имеет решений, второе имеет два различных, то есть $D_1\lt 0,$ $D_2\gt 0:$
$$\begin{cases} 9+4a\lt 0, \\ 25-4a\gt 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a\lt-\frac{9}{4}, \\ a\lt\frac{25}{4} \end{cases}\Leftrightarrow a\lt-\frac{9}{4}.$$
2) Первое уравнение имеет одно решение, второе имеет два различных, одно из которых совпадает с решением первого, то есть $D_1=0,~D_2\gt 0:~9+4a=0,$ значит, $a=-\frac{9}{4},$ откуда $x_{1,2}=\frac{3}{2}.$ Необходимо, чтобы
$$\frac{3}{2}=\frac{5\pm\sqrt{25-4\cdot \left( -\frac{9}{4} \right)}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{34}}{2},$$
3) Оба уравнения имеют по два решения, которые попарно совпадают, то есть $D_1\gt 0,$ $D_2\gt 0,$ $x_1=x_3,$ $x_2=x_4:$
$$\begin{cases} 9+4a\gt 0, \\ 25-4a\gt 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a\gt-\frac{9}{4}, \\ a\lt\frac{25}{4}. \end{cases}$$
$$\frac{3\pm\sqrt{9+4a}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{25-4a}}{2}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 3\pm\sqrt{9+4a}=5\pm\sqrt{25-4a}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \pm\sqrt{9+4a}=2\pm\sqrt{25-4a}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sqrt{9+4a}=2+\sqrt{25-4a}, \\ -\sqrt{9+4a}=2-\sqrt{25-4a} \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 9+4a=4+4\sqrt{25-4a}+25-4a, \\ 9+4a=4-4\sqrt{25-4a}+25-4a \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 9+4a=4+4\sqrt{25-4a}+25-4a, \\ 9+4a=4-4\sqrt{25-4a}+25-4a \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 4\sqrt{25-4a}=8a-20, \\ 4\sqrt{25-4a}=20-8a \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sqrt{25-4a}=2a-5, \\ \sqrt{25-4a}=5-2a \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 25-4a=4a^2-20a+25,~a\gt \frac{5}{2}, \\ 25-4a=25-20a+4a^2,~a\lt\frac{5}{2} \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 25-4a=4a^2-20a+25,~a\gt \frac{5}{2}, \\ 25-4a=25-20a+4a^2,~a\lt\frac{5}{2} \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 4a^2-16a=0,~a\gt\frac{5}{2}, \\4a^2-16a=0,a\lt\frac{5}{2} \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a(a-4)=0,~a\gt\frac{5}{2}, \\ a(a-4)=0,~a\lt\frac{5}{2} \end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a=4, \\ a=0. \end{gathered} \right.$$
При $a=4~~~x_1=4,$ $x_2=−1,$ $x_3=4,$ $x_4=1$ — три различных решения.
При $a=0~~~x_ 1=3,$ $x_2=0,$ $x_3=5,$ $x_4=0$ — три различных решения.
4) Первое уравнение не имеет решений, а второе имеет два совпадающих, то есть $D_1\lt 0,$ $D_2=0$ — не подходит.
5) Оба уравнения имеют по два совпадающих решения, при этом различных между собой, то есть $D_1=0,$ $D_2=0:$
$$x_{1,2}=\frac{3}{2},~x_{3,4}=\frac{5}{2}.$$
6) Второе уравнение имеет одно решение, первое имеет два различных, одно из которых совпадает с решением второго, то есть $D_2=0,$ $D_1\gt 0:~25-4a=0,$ значит, $a=\frac{25}{4},$ откуда $x_{3,4}=\frac{5}{2}.$ Необходимо, чтобы
$$\frac{5}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+4\cdot \frac{25}{4}}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{34}}{2},$$
7) Оба уравнения не имеют решений, то есть $D_1\lt 0,$ $D_2\gt 0$ — не подходит.
8) Второе уравнение не имеет решений, а первое имеет два совпадающих, то есть $D_2\lt 0,$ $D_1=0$ — не подходит.
9) Второе уравнение не имеет решений, первое имеет два различных, то есть $D_2\lt 0,$ $D_1\gt 0:$
$$\begin{cases} 9+4a\gt 0, \\ 25-4a\lt 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a\gt-\frac{9}{4}, \\ a\gt\frac{25}{4} \end{cases}\Leftrightarrow a\gt\frac{25}{4}.$$
Итак, условию удовлетворяют только случаи $1)$ и $9),$ откуда получаем, что исходная система уравнений имеет два различных решения при $a\in \left( -\infty;-\frac{9}{4} \right)\cup \left( \frac{25}{4};+\infty \right)$.
Ответ
Задача 19
В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна $20$ тонн или $40$ тонн. В некоторых контейнерах находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет $60\%$ от общего числа контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять $50\%$ от общей массы?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять $40\%$ от общей массы?
в) Какую наибольшую долю в процентах может составлять масса контейнеров с сахарным песком от общей массы?
Решение
Поскольку можно найти $60\%$ контейнеров, общее число контейнеров должно быть кратно $5.$ Пусть оно равно $5x,$ тогда $3x$ из них содержат сахарный песок.
а) Да. Пусть есть $4$ контейнера по $20$ тонн и один $40$ тонн, при этом сахарным песком заполнены три контейнера по $20$ тонн. Это дает $60$ тонн, то есть ровно $50\%$ от $4\cdot 20+40=120$ тонн.
б) Заменим все контейнеры с сахарным песком на двадцатитонные, а все остальные — на сорокатонные. От этого доля сахарного песка среди всего груза только уменьшится. Но даже теперь она составит лишь
$$\frac{3x\cdot 20}{2x\cdot 40+3x\cdot 20}=\frac{60x}{140x}=\frac{30}{70}\gt 0,4=\frac{28}{70}.$$
$$\frac{3x\cdot 20}{2x\cdot 40+3x\cdot 20}=\frac{60x}{140x}=$$
$$=\frac{30}{70}\gt 0,4=\frac{28}{70}.$$
$$\frac{3x\cdot 40}{2x\cdot 20+3x\cdot 40}=\frac{120x}{160x}=\frac{3}{4},$$
то есть $75\%.$ Это значение достигается, например, для трех контейнеров с сахарным песком по $40$ тонн и двух других контейнеров по $20$ тонн.
Ответ
a) да, может; б) нет, не может в) $75\%$
|
Ответы
|
|---|
|
$110$
|
|
$2,9$
|
|
$120$
|
|
$0,35$
|
|
$0,0009$
|
|
$23$
|
|
$2,5$
|
|
$4$
|
|
$7$
|
|
$15$
|
|
$5$
|
|
$3,5$
|
|
$$\text{а)} \left\{ \frac{\pi}{2}+\pi k;~\frac{5\pi}{6}+2\pi k;~\frac{7\pi}{6}+2\pi k :~k\in\mathbb{Z} \right\};$$$$ \text{б)} ~\frac{3\pi}{2},~\frac{5\pi}{2},~\frac{17\pi}{6}.$$
|
|
$3:2$
|
|
$$(1;+\infty)$$
|
|
$122000$
|
|
$$\text{б)} ~\frac{17}{3}.$$
|
|
$$\left(-\infty;-\frac{9}{4} \right)\cup \left( \frac{25}{4};+\infty \right)$$
|
|
a) да, может; б) нет, не может в) $75\%$.
|