ЕГЭ по математике 2024. Основная волна. Дальний Восток.
Задача 1
В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=13,$ $CD=18.$ Найдите периметр четырехугольника $ABCD$.
Решение
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда $AB+CD=BC+AD.$ Тогда $P_{ABCD}=$$~AB+CD+BC+DA=$$~2(AB+CD)=$$~62.$
Ответ: $62$.
Ответ
$62$
Задача 2
Решение
Найдем координаты вектора $\vec{a}-12\vec{b}:$
$\vec{a}-12\vec{b}=(17-12\cdot 1;~0-12\cdot (-1))=(5;12).$
$\vec{a}-12\vec{b}=(17-12\cdot 1;~0-12\cdot (-1))=$
$=(5;12).$
Длина вектора равна:
$|\vec{a}+12\vec{b}|=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13.$
$|\vec{a}+12\vec{b}|=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=$
Ответ: $13$.
Ответ
$13$
Задача 3
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины равняются $5,6,8.$ Найди объем отсеченного параллелепипеда, вершинами которого являются середины сторон, выходящих из одной точки.
Решение
Найдем объем отсеченного параллелепипеда:
$$V=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{1}{2}\cdot 8=\frac{1}{8}\cdot 240=30.$$
Ответ: $30$.
Ответ
$30$
Задача 4
В сборнике билетов по истории всего $25$ билетов, в $15$ из них встречается вопрос о Великой Отечественной войне. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос о Великой Отечественной войне.
Решение
$$\frac{25-15}{25}=\frac{10}{25}=0,4.$$
Ответ: $0,4$.
Ответ
$0,4$
Задача 5
Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна $0,9$. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение
Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: $0,9\cdot 0,9=0,81.$
Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна $1−0,81=0,19.$
Ответ: $0,19$.
Ответ
$0,19$
Задача 6
Найдите корень уравнения $\sqrt{7x-31}=2.$
Решение
Найдём корень уравнения:
$$\sqrt{7x-31}=2\Leftrightarrow 7x-31=4\Leftrightarrow 7x=35\Leftrightarrow x=5.$$
$$\sqrt{7x-31}=2\Leftrightarrow 7x-31=4\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 7x=35\Leftrightarrow x=5.$$
Ответ: $5$.
Ответ
$5$
Задача 7
Найдите значение выражения
$$4\sqrt{3}~cos^2\frac{23\pi}{12}-4\sqrt{3}~sin^2\frac{23\pi}{12}.$$
Решение
Используем формулу косинуса двойного угла $cos^2~\alpha-sin^2~\alpha=cos~2\alpha:$
$$4\sqrt{3}~cos^2\frac{23\pi}{12}-4\sqrt{3}~sin^2\frac{23\pi}{12}=4\sqrt{3}~cos\frac{23\pi}{6}=4\sqrt{3}~cos\frac{\pi}{6}=4\sqrt{3}\cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=6.$$
$$4\sqrt{3}~cos^2\frac{23\pi}{12}-4\sqrt{3}~sin^2\frac{23\pi}{12}=$$
$$=4\sqrt{3}~cos\frac{23\pi}{6}=4\sqrt{3}~cos\frac{\pi}{6}=$$
$$=4\sqrt{3}\cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=6.$$
Ответ: $6$.
Ответ
$6$
Задача 8
На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $−2,−1, 3, 4.$ В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках $−2$ и $−1$, модуль тангенса угла наклона касательной в точке $−1$ явно больше, поэтому тангенс в этой точке наименьший.
Ответ: $-1$.
Ответ
$-1$
Задача 9
Автомобиль, движущийся со скоростью $\nu_0=24~\textnormal{м/с},$ начал торможение с постоянным ускорением $a=3~\textnormal{м/с}^2.$ За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S=\nu_0 t-\frac{at^2}{2}$(м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $90$ метров. Ответ дайте в секундах.
Решение
$$24t-1,5t^2=90\Leftrightarrow t^2-16t+60=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t=6 \\ t=10 \end{gathered} \right.~.$$
$$24t-1,5t^2=90\Leftrightarrow t^2-16t+60=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t=6 \\ t=10 \end{gathered} \right.~.$$
Значит, через $6$ секунд после начала торможения автомобиль проедет $90$ метров.
Ответ: $6$.
Ответ
$6$
Задача 10
Один мастер может выполнить заказ за $45$ часов, а другой — за $36$ часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
Решение
Обозначим выполняемую работу за $1$. Скорость работы первого мастера $1/45$ работы в час, а второго — $1/36$ работы в час. Время работы равно отношению объёма к скорости её выполнения. Поэтому два мастера, работая вместе, выполнят заказ за
$$\frac{1}{\frac{1}{45}+\frac{1}{36}}=\frac{180}{4+5}=20 ~\textnormal{часов}.$$
Ответ: $20$.
Ответ
$20$
Задача 11
На рисунке изображен график функции вида $f(x)=a^x.$ Найдите значение $f(-2)$.
Решение
Из графика находим, что $f(-1)=4,$ откуда $a^{-1}=4,$ а потому $a=\frac{1}{4}.$ Тогда
$$f(-2)=\left( \frac{1}{4} \right)^{-2}=16.$$
Ответ: $16$.
Ответ
$16$
Задача 12
Найдите точку максимума функции $y=15+24x-2x^{\frac{3}{2}}.$
Решение
$$y’=24-3\sqrt{x}.$$
Найдем нули производной:
$$24-3\sqrt{x}=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=8\Leftrightarrow x=64.$$
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума $x=64.$
Ответ: $64$.
Ответ
$64$
Задача 13
а) Решите уравнение $sin~2x+\sqrt3~sin(x-\pi)=0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\frac{7\pi}{2};-2\pi \right].$
Решение
а) Используя формулу приведения $sin(\pi-x)=sin~x$ и формулу синуса двойного угла $sin~2x=2~sin~x~cos~x,$ получаем:
$$sin~2x+\sqrt{3}~sin(x-\pi)=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow sin~2x-\sqrt{3}~sin(\pi-x)=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 2~sin~x~cos~x-\sqrt{3}~sin~x=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow sin~x(2~cos~x-\sqrt{3})=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} sin~x=0, \\ cos~x=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered} \right. \Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=\pi k, \\ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k, \\ x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k,\end{gathered} \right. ~~~k\in\mathbb{Z}.$$
Ответ: а) $\left\{ \pi k;~\frac{\pi}{6}+2\pi k; \frac{11\pi}{6}+2\pi k:k\in\mathbb{Z} \right\};$ б) $\textnormal{б)}-3\pi;~-\frac{13\pi}{6};~-2\pi.$
Ответ
Задача 14
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ стороны основания $ABC$ равны $12,$ а боковые ребра — $25.$ На ребрах $AB,$ $AC$ и $SA$ отмечены точки $F,$ $E$ и $K$ соответственно. Известно, что $AE = AF = 10,$ $AK = 15.$
а) Докажите, что объем пирамиды $KAEF$ составляет $\frac{5}{12}$ от объема пирамиды $SABC.$
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $KEF.$
Решение
а) Пусть точка $M$ — середина ребра $BC,$ точка $O$ — центр основания, $L$ — проекция точки $K$ на отрезке $AO.$ Заметим, что треугольники $AEF$ и $ABC$ — подобны. При этом коэффициент подобия $k=\frac{AF}{AB}=\frac{5}{6},$ следовательно,
$$S_{AEF}=k^2S_{ABC}=\frac{25}{36}S_{ABC}.$$
Прямоугольные треугольники $KLA$ и $SOA$ тоже подобны, с коэффициентом подобия $k=\frac{AK}{AS}=\frac{3}{5},$ следовательно, $KL=\frac{3}{5}SO.$ Тогда
$$V_{KAEF}=\frac{1}{3}S_{AEF}\cdot KL=\frac{1}{3}\cdot \frac{25}{36}S_{ABC}\cdot \frac{3}{5}SO=\frac{5}{12}V_{SABC}~.$$
$$V_{KAEF}=\frac{1}{3}S_{AEF}\cdot KL=$$
$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{25}{36}S_{ABC}\cdot \frac{3}{5}SO=$$
$$=\frac{5}{12}V_{SABC}~.$$
б) Так как треугольники $AKE$ и $AKF$ — равны, сечением пирамиды будет являться равнобедренный треугольник $KEF.$ Пусть $H$ — точка пересечения $EF$ и отрезок $AM$ — середина $EF.$ Тогда, отрезок $KH$ — высота треугольника $KEF.$ Из п. а) следует, что
$$EF=\frac{5}{6}BC=10,~~~AM=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=6\sqrt{3},~~~AH=\frac{5}{6}AM=5\sqrt{3},$$
$$EF=\frac{5}{6}BC=10,$$
$$AM=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=6\sqrt{3},$$
$$AH=\frac{5}{6}AM=5\sqrt{3},$$
$$AO=\frac{2}{3}AM=4\sqrt{3},~~~AL=\frac{3}{5}AO=\frac{12}{5}\sqrt{3}.$$
$$AO=\frac{2}{3}AM=4\sqrt{3},$$
$$AL=\frac{3}{5}AO=\frac{12}{5}\sqrt{3}.$$
Откуда
$$LH=AH-AL=\frac{13}{5}\sqrt{3},~~~SO=\sqrt{AS^2-AH^2}=\sqrt{577},~~~KL=\frac{3}{5}SO=\frac{3}{5}\sqrt{577},$$
$$LH=AH-AL=\frac{13}{5}\sqrt{3},$$
$$SO=\sqrt{AS^2-AH^2}=\sqrt{577},$$
$$KL=\frac{3}{5}SO=\frac{3}{5}\sqrt{577},$$
$$KH=\sqrt{KL^2+LH^2}=2\sqrt{57}.$$
Таким образом, площадь треугольника $KEF$ равна
$$S_{KEF}=\frac{1}{2}EF\cdot KH=10\sqrt{57}.$$
Ответ: б) $10\sqrt{57}$.
Ответ
Задача 15
Решите неравенство:
$$\frac{49^x-6\cdot 7^x+3}{7^x-5}+\frac{6\cdot 7^x-39}{7^x-7}\le 7^x+5.$$
Решение
Пусть $7^x=t,$ тогда:
$$\frac{t^2-6t+3}{t-5}+\frac{6t-39}{t-7}\le t+5\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{t(t-5)-t+3}{t-5}+\frac{5(t-7)+t-4}{t-7}\le t+5\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{t(t-5)-t+3}{t-5}+\frac{5(t-7)+t-4}{t-7}\le $$
$$\le t+5\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow t+\frac{3-t}{t-5}+5+\frac{t-4}{t-7}\le t+5\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{3-t}{t-5}+\frac{t-4}{t-7}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow -1-\frac{2}{t-5}+1+\frac{3}{t-7}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow -\frac{2}{t-5}+\frac{3}{t-7}\le 0 \Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{-2(t-7)+3(t-5)}{(t-5)(t-7)}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{t-1}{(t-5)(t-7)}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t\le 1, \\ 5\lt t\lt7. \end{gathered} \right.$$
Вернемся к исходной переменной. Имеем:
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 7^x\le 1, \\ 5\lt 7^x\lt7 \end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x\le 0, \\ log_7~5\lt x\lt 1. \end{gathered} \right.$$
Ответ: $(-\infty;~0]\cup (log_7~5;~1).$.
Ответ
Задача 16
В июле 2022 года планируется взять кредит на сумму 419 375 рублей.
Условия возврата таковы:
— в январе каждого года долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с предыдущим годом;
— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Решение
Пусть $S=419375$ — сумма кредита, $x$ руб. — ежегодный платеж, $k=1+\frac{20}{100}=1,2.$ Тогда схема выплаты кредита выглядит так:
$$(((S\cdot k-x)\cdot k-x)\cdot k-x)\cdot k-x=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow Sk^4-k^3x-k^2x-kx-x=0.$$
Тогда
$$x=\frac{Sk^4}{k^3+k^2+k+1}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow x=\frac{419375\cdot\left( \frac{6}{5} \right)^4}{\frac{216}{125}+\frac{36}{25}+\frac{6}{5}+1}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow x=\frac{419375\cdot\left( \frac{6}{5} \right)^4}{\frac{671}{125}}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow x=5^3\cdot 6^4=162000.$$
Таким образом, общая сумма выплат банку равна $4\cdot 162000=$$~648000$ руб.
Ответ: $648000$.
Ответ
$648000$
Задача 17
Точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC.$ Прямая $BO$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $P.$
а) Докажите, что $\angle POA=\angle PAO.$
б) Найдите площадь треугольника $APC,$ если известно, что радиус его описанной окружности равен $8,$ а $\angle ABC=60^\circ.$
Решение
а) Так как точка $O$ — центр вписанной окружности, то прямая $BO$ — биссектриса угла $ABC.$ По лемме о трезубце расстояния от точки пересечения биссектрисы угла треугольника с его описанной окружностью до двух других вершин и инцентра равны. Поэтому треугольник $APO$ равнобедренный. Откуда следует, что $\angle POA=\angle PAO.$
б) По обобщённой теореме синусов
$$\frac{AC}{sin~\angle ABC}=2R,$$
откуда $AC=8\sqrt{3}.$ Опустим из $P$ перпендикуляр $PH$ на $AC.$ Так как точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противолежащей стороне лежит на описанной окружности этого треугольника, то отрезок $PH$ — серединный перпендикуляр к стороне $AC.$ Четырехугольник $ABCP$ вписанный, значит,
$$\angle APC=180^\circ-\angle ABC=120^\circ.$$
Отрезок $PH$ — серединный перпендикуляр к стороне $AC,$ поэтому
$$\angle APH=\angle CPH=60^\circ,~~~CH=\frac{1}{2}AC=4\sqrt{3},$$
$$\angle APH=\angle CPH=60^\circ,$$
$$CH=\frac{1}{2}AC=4\sqrt{3},$$
$$PH=CH\cdot ctg\angle CPH=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 4\sqrt{3}=4.$$
Тогда площадь треугольника $APC$ равна $S_{APC}=\frac{1}{2}PH\cdot AC=16\sqrt{3}.$
Ответ: б) $16\sqrt{3}$.
Ответ
Задача 18
Найди все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение $2a(x+1)^2-|x+1|+1=0$ имеет ровно четыре различных решения.
Решение
Пусть $t=|x+1|,$ при этом $t\ge 0.$ Тогда исходное уравнение равносильно уравнению $2at^2-t+1=0.$ Исходное уравнение имеет ровно четыре различных решения, тогда и только тогда, когда полученное уравнение является квадратным и имеет два положительных корня. Тогда $a\neq 0$ и $D\gt 0,$ то есть $1-8a\gt 0,$ откуда $a\lt \frac{1}{8}.$
$$t_1=\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a},~~~t_2=\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}.$$
Корень $t_1\gt 0$ при $a\gt 0,$ так как числитель дроби больше нуля. При условии $a\gt 0$ корень $t_2$ положителен при
$$1-\sqrt{1-8a}\gt 0\Leftrightarrow \sqrt{1-8a}\lt 1\underset{a\gt 0}{\Leftrightarrow} 0\lt a\lt \frac{1}{8}~.$$
$$1-\sqrt{1-8a}\gt 0\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{1-8a}\lt 1\underset{a\gt 0}{\Leftrightarrow} 0\lt a\lt \frac{1}{8}~.$$
Таким образом, получаем, что исходное уравнение имеет ровно четыре корня при $0\lt a\lt \frac{1}{8}.$
Ответ: $0\lt a\lt \frac{1}{8}$.
Ответ
Задача 19
Есть $4$ камня по $3$ кг и $11$ камней по $20$ кг.
а) Можно ли разложить камни на $2$ группы так, чтобы разность сумм масс групп была равна $14$ кг?
б) Можно ли разложить камни в $2$ группы так, чтобы сумма масс камней обеих групп была одинаковой?
в) Какую минимальную массу разности суммарных масс камней можно достичь при разложении камней в $2$ группы?
Решение
Сразу заметим, что суммарная масса всех камней равна $4\cdot 3+11\cdot 20=232.$
а) Нужно сделать кучки весом $109$ и $123$ кг. Это возможно, например, можно в первую положить $5$ камней по $20$ кг и три по $3$ кг, а во вторую — все остальные.
б) Ясно, что в одной из кучек не должно быть камней в $3$ кг, а в другой они должны быть все, либо в каждой кучке их должно быть два, иначе общая масса кучки будет нечетной, а должна быть $116.$ Но $116$ и $116-2\cdot 3=110$ не кратны $20,$ поэтому набрать такую кучку нельзя.
в) В одной из кучек лежат минимум $6$ камней по $20$ кг. Значит, ее масса минимум $120,$ а масса второй не более $232-120=112,$ поэтому разность будет не менее $120-112=8.$ Такая разность возможна, если больше ничего к этим шести камням не добавлять.
Ответ: а) да, можно; б) нет, нельзя; в) $8$ кг.
Ответ
|
Ответы
|
|---|
|
$62$
|
|
$13$
|
|
$30$
|
|
$0,4$
|
|
$0,19$
|
|
$5$
|
|
$6$
|
|
$-1$
|
|
$6$
|
|
$20$
|
|
$16$
|
|
$64$
|
|
$$\textnormal{а)}\left\{ \pi k;~\frac{\pi}{6}+2\pi k; \frac{11\pi}{6}+2\pi k:k\in\mathbb{Z} \right\};$$
$$\textnormal{б)}-3\pi;~-\frac{13\pi}{6};~-2\pi.$$
|
|
б) $10\sqrt{57}$
|
|
$$(-\infty;~0]\cup (log_7~5;~1)$$
|
|
$648000$
|
|
б) $16\sqrt{3}$
|
|
$$0\lt a\lt \frac{1}{8}$$
|
|
а) да, можно; б) нет, нельзя; в) $8$ кг.
|