ЕГЭ по математике 2024. Разные города.
Задача 1
В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=10,$ $CD=16.$ Найдите периметр четырехугольника $ABCD.$
Решение
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда $AB+CD=BC+AD.$ Тогда
$P_{ABCD}=AB+CD+BC+DA=2(AB+CD)=52.$
$P_{ABCD}=AB+CD+BC+DA=$
$=2(AB+CD)=52.$
Ответ: $52.$
Ответ
$52$
Задача 2
Даны векторы $\vec{a}(3;-2)$ и $\vec{b}(0;1).$ Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}.$
Решение
Скалярное произведение равно: $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 0+(-2)\cdot 1=-2.$
Ответ: $-2.$
Ответ
$-2$
Задача 3
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB=3,$ $AD=3,$ $AA_1=4.$
Решение
Многогранник $B_1ABC$ представляет собой треугольную пирамиду с основанием $ABC$ и высотой $h=BB_1=AA_1.$ Объем пирамиды можно вычислить по формуле $V=\frac{1}{3}S_{\textnormal{осн}}h,$ где $S_{\textnormal{осн}}=\frac{1}{2}AB\cdot BC,$ так как треугольник $ABC$ прямоугольный. Учитывая, что $BC=AD,$ получаем
$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot AA_1=\frac{1}{6}\cdot 3\cdot 3\cdot 4=6.$$
$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot AA_1=$$
$$=\frac{1}{6}\cdot 3\cdot 3\cdot 4=6.$$
Ответ: $6.$
Примечание.
Объем пирамиды вычисляется по формуле $V=\frac{1}{3}S_{\textnormal{осн}}h.$ Если площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания параллелепипеда, а высота у них общая, то независимо от вида параллелепипеда объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда . Заданный параллелепипед прямоугольный, его объем равен произведению измерений этого параллелепипеда. Тогда
$$V_{\textnormal{пир}}=\frac{1}{6}V_{\textnormal{пар}}=\frac{1}{6}\cdot 3\cdot 3\cdot 4=6.$$
Ответ: $6.$
Ответ
$6$
Задача 4
В группе туристов $20$ человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по $5$ человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Ф. полетит вторым рейсом вертолёта.
Решение
На втором рейсе $5$ мест, всего туристов $20.$ Тогда вероятность того, что турист Ф. полетит вторым рейсом вертолёта, равна:
$$\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=0,25.$$
Ответ: $0,25.$
Ответ
$0,25$
Задача 5
Биатлонист $5$ раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $0,5.$ Найдите вероятность того, что биатлонист первые $3$ раза попал в мишени, а последние $2$ промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение
Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью $0,5,$ он промахивается с вероятностью $1−0,5=0,5.$ События попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна
$$0,5\cdot 0,5\cdot 0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,03125\approx 0,03.$$
$$0,5\cdot 0,5\cdot 0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,03125\approx 0,03.$$
Ответ: $0,03.$
Ответ
$0,03$
Задача 6
$$\left( \frac{1}{2} \right)^{6-2x}=4.$$
Решение
$$\left( \frac{1}{2} \right)^{6-2x}=4\Leftrightarrow \left( \frac{1}{2} \right)^{6-2x}=\left( \frac{1}{2} \right)^{-2}\Leftrightarrow 6-2x=-2\Leftrightarrow x=4.$$
$$\left( \frac{1}{2} \right)^{6-2x}=4\Leftrightarrow \left( \frac{1}{2} \right)^{6-2x}=\left( \frac{1}{2} \right)^{-2}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 6-2x=-2\Leftrightarrow x=4.$$
Ответ: $4.$
Ответ
$4$
Задача 7
Найдите значение выражения
Решение
Используем формулу синуса двойного угла $2~cos~\alpha~sin~\alpha=sin~2\alpha:$
$$7\sqrt{2}~cos\frac{15\pi}{8}sin~\frac{15\pi}{8}=3,5\sqrt{2}~sin\left( 2\cdot\frac{15\pi}{8} \right)=3,5\sqrt{2}~sin\frac{15\pi}{4}=-3,5\sqrt{2}~sin\frac{3\pi}{4}=-3,5\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-3,5.$$
$$7\sqrt{2}~cos\frac{15\pi}{8}sin~\frac{15\pi}{8}=$$
$$=3,5\sqrt{2}~sin\left( 2\cdot\frac{15\pi}{8} \right)=$$
$$=3,5\sqrt{2}~sin\frac{15\pi}{4}=$$
$$=-3,5\sqrt{2}~sin\frac{3\pi}{4}=$$
$$=-3,5\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-3,5.$$
Ответ: $-3,5.$
Ответ
$-3,5$
Задача 8
На рисунке изображен график производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(-4;16).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x)$ на отрезке $[0;13].$
Решение
Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке $[0; 13]$ функция имеет одну точку максимума $x=3.$
Ответ: $1.$
Ответ
$1$
Задача 9
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому $P=\sigma ST^4,$ где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma=5,7\cdot 10^{-8}\frac{\textnormal{Вт}}{\textnormal{м}^2\cdot \textnormal{К}^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{729}\cdot 10^{20}\textnormal{м}^2,$ а мощность её излучения равна $5,13\cdot 10^{25}$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Решение
$$T=\sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}}=\sqrt[4]{\frac{5,13\cdot 10^{25}\cdot729}{5,7\cdot 10^{-8}\cdot 10^{20}}}=9000.$$
$$T=\sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}}=\sqrt[4]{\frac{5,13\cdot 10^{25}\cdot729}{5,7\cdot 10^{-8}\cdot 10^{20}}}=9000.$$
Ответ: $9000$
Ответ
$9000$
Задача 10
Первый насос наполняет бак за $20$ минут, второй — за $30$ минут, а третий — за $1$ час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Решение
$$\frac{1}{\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{60}}=\frac{60}{3+2+1}=10~\textnormal{минут}.$$
Ответ: $10$
Приведем другое решение.
Первый насос за минуту наполняет одну двадцатую бака, второй — одну тридцатую, третий — одну шестидесятую. Работая вместе, за минуту они наполнят шесть шестидесятых или одну десятую бака. Значит, весь бак насосы наполнят за $10$ минут.
Приведем другое решение.
За один час первый насос наполнит $3$ бака, второй — $2$ бака, а третий — $1$ бак. Работая вместе, за один час они наполнят $6$ баков. Значит, один бак насосы наполнят в шесть раз быстрее, т. е. за $10$ минут.
Ответ
$10$
Задача 11
На рисунке изображён график функции $f(x)=\frac{k}{x}.$ Найдите $f(10).$
Решение
По графику $f(1)=1,$ тогда $\frac{k}{1}=1,$ откуда $k=1.$ Таким образом,
$$f(10)=\frac{1}{10}=0,1.$$
Ответ: $0,1.$
Ответ
$0,1$
Задача 12
Найдите точку минимума функции
$$y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x+1.$$
Решение
$$\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4.$$
Искомая точка минимума $x=4.$
Ответ: $4.$
Ответ
$4$
Задача 13
а) Решите уравнение
$$2~sin^2~x+3\sqrt{3}~sin\left( \frac{\pi}{2}+x \right)+4=0.$$
Решение
$$2~sin^2~x+3\sqrt{3}~sin\left( \frac{\pi}{2}+x \right)+4=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 2-2~cos^2~x+3\sqrt{3}~cos~x+4=0\Leftrightarrow 2~cos^2~x-3\sqrt{3}~cos~x-6=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 2-2~cos^2~x+3\sqrt{3}~cos~x+4=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 2~cos^2~x-3\sqrt{3}~cos~x-6=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow (2~cos~x+\sqrt{3})(cos~x-2\sqrt{3})=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} cos~x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \\ cos~x=2\sqrt{3} \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow (2~cos~x+\sqrt{3})(cos~x-2\sqrt{3})=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} cos~x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \\ cos~x=2\sqrt{3} \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow cos~x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k,~k\in\mathbb{Z}.$$
$$\Leftrightarrow cos~x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k,~k\in\mathbb{Z}.$$
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Найдем: $-\frac{19\pi}{6},~-\frac{17\pi}{6}.$
Ответ: а) $\left\{ \pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k, ~k\in\mathbb{Z} \right\};$ б) $-\frac{19\pi}{6}, ~-\frac{17\pi}{6}.$
Ответ
Задача 14
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC,$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=2:1,$ $AB=6$ и $SO=3\sqrt{7}.$
а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA.$
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD.$
Решение
а) Рассмотрим треугольник $ASC.$ В нём $AO=OC,$ $SM=MC,$ значит, $OM$ — средняя линия и прямая $AS$ параллельна прямой $OM.$ Точка $K$ не лежит в плоскости $ASC,$ значит, плоскости $OMK$ и $ASC$ пересекаются по прямой $MO,$ следовательно, прямая $SA$ не лежит в плоскости $OMK.$ Тогда прямая $AS$ параллельна плоскости $OMK,$ по признаку параллельности прямой и плоскости, что и требовалось доказать.
б) По условию $BK:KC=2:1,$ также известно, что $BC=6.$ Отсюда следует, что $CK=2$ и $BK=4.$ Пусть плоскости $OMK$ и $SAD$ пересекаются по прямой $EF$ (плоскость $OMK$ пересекает ребро $SD$ в точке $F,$ а ребро $AD$ — в точке $E$). Заметим, что точка $E$ симметрична точке $K$ относительно центра основания $O,$ а, значит, $AE=CK=2.$ Прямая $AS$ параллельна плоскости $OMK,$ значит, прямая $AS$ не имеет общих точек с прямой $EF,$ при этом прямые $AS$ и $EF$ лежат в одной плоскости, значит, они параллельны. Из подобия треугольников $ASD$ и $EFD$ получаем, что $EF=\frac{DE}{DA}\cdot AS=\frac{2}{3}AS.$ Найдем боковое ребро:
$$AS=\sqrt{SO^2+\left( \frac{1}{2}AC \right)^2}=\sqrt{63+18}=9.$$
$$AS=\sqrt{SO^2+\left( \frac{1}{2}AC \right)^2}=$$
$$=\sqrt{63+18}=9.$$
Следовательно, $EF=\frac{2}{3}\cdot 9=6.$
Ответ: б) $6.$
Ответ
б) $6.$
Задача 15
$$3^x-8-\frac{2\cdot 3^x\cdot 3-19}{9^x-5\cdot 3^x+6}\le\frac{1}{3^x-3}.$$
Решение
Пусть $t=3^x$ и $t\gt0,$ тогда $t^2=9^x.$ Подставляем:
$$t-8-\frac{6t-19}{t^2-5t+6}\le \frac{1}{t-3}\Leftrightarrow $$
$$t-8-\frac{6t-19}{t^2-5t+6}-\frac{1}{t-3}\le 0\Leftrightarrow $$
$$t-8-\frac{6t-19}{(t-2)(t-3)}-\frac{1}{t-3}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{(t-8)(t-2)(t-3)-6t+19-(t-2)}{(t-2)(t-3)}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{(t-8)(t-2)(t-3)-6t+19-(t-2)}{(t-2)(t-3)}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{t^3-5t^2+6t-8t^2+40t-48-6t+19-t+2}{(t-2)(t-3)}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{t^3-5t^2+6t-8t^2+40t-48-6t+19-t+2}{(t-2)(t-3)}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{t^3-13t^2+39t-27}{(t-2)(t-3)}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{(t^3-27)-13t^2+39t}{(t-2)(t-3)}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{(t-3)(t^2+3t+9)-13t(t-3)}{(t-2)(t-3)}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{(t-3)(t^2+3t-13t+9)}{(t-2)(t-3)}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{(t-3)(t^2-10t+9)}{(t-2)(t-3)}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{(t-3)(t-1)(t-9)}{(t-2)(t-3)}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{(t-1)(t-9)}{t-2}\le 0,~t\neq 3\Leftrightarrow $$
$$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} 2\lt t \le9, \\t\neq 3,\end{cases} \\ t\le 1.\end{gathered} \right.$$
Ответ: $(-\infty;0]\cup (log_3~2;1)\cup (1;2].$
Приведем другой способ решения.
Пусть $t=3^x$ и $t\gt0,$ тогда $t^2=9^x.$ Подставляем:
$$t-8-\left( \frac{6t-19}{(t-2)(t-3)}+\frac{1}{t-3} \right)\le 0\Leftrightarrow $$
$$t-8- \frac{6t-19+t-2}{(t-2)(t-3)} \le 0\Leftrightarrow $$
$$t-8- \frac{7(t-3)}{(t-2)(t-3)} \le 0.$$
Сократим дробь при условии $t\neq 3,$ имеем:
$$t-8- \frac{7}{t-2} \le 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{(t-8)(t-2)-7}{t-2} \le 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{t^2-10t+9}{t-2} \le 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{(t-1)(t-9)}{t-2} \le 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} 2\lt t\le 9, \\t\neq 3, \end{cases} \\t\le 1. \end{gathered} \right.$$
$$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} 2\lt 3^x\le 9, \\3^x\neq 3, \end{cases} \\3^x\le 1. \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} log_3~2\lt x\lt 1, \\ 1\lt x\le 2 ,\\ x\le 0.\end{gathered} \right.$$
Ответ
Задача 16
В июле $2026$ года планируется взять кредит на $3$ года в размере $800$ тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе $2027$ и $2028$ годов долг будет возрастать на $10$% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе $2029$ года долг будет возрастать на $20$% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
Платежи в $2027,$ $2028$ и $2029$ годах должны быть равными; к июлю $2029$ года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
Решение
Пусть $S=800000$ руб. — сумма кредита, $x$ руб. — ежегодный платеж, $k_1=1+\frac{10}{100}=1,1$ и $k_2=1+\frac{20}{100}=1,2.$ Тогда схема выплаты кредита выглядит так:
$$k_2(k_1(k_1-x)-x)-x=0\Leftrightarrow k_2(k_1^2\cdot S-k_1\cdot x-x)-x=0\Leftrightarrow k_2k_1^2S-k_2k_1x-k_2x-x=0.$$
$$k_2(k_1(k_1-x)-x)-x=0\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow k_2(k_1^2\cdot S-k_1\cdot x-x)-x=0\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow k_2k_1^2S-k_2k_1x-k_2x-x=0.$$
Тогда
$$x=\frac{k_2k_1^2S}{k_2k_1+k_2+1}\Leftrightarrow x=\frac{1,2\cdot 1,1^2\cdot 800000}{1,1\cdot 1,2+1,2+1}\Leftrightarrow x=330000.$$
$$x=\frac{k_2k_1^2S}{k_2k_1+k_2+1}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow x=\frac{1,2\cdot 1,1^2\cdot 800000}{1,1\cdot 1,2+1,2+1}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow x=330000.$$
Таким образом, общая сумма выплат банку будет равна $3\cdot 330000=990000.$
Ответ: $990000$ рублей.
Ответ
$990000$ рублей
Задача 17
Периметр треугольника $ABC$ равен $24.$ Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC.$
а) Докажите, что $AC=6.$
б) Найдите площадь треугольника $ABC,$ если $\angle ACB=90^\circ.$
Решение
а) Так как четырехугольник $AEFC$ описанный (см. рис. 1), то $AE+FC=AC+EF.$ Поскольку $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC,$ отрезок $EF$ — средняя линия, а, значит, $AC=2EF.$ Найдем периметр треугольника $ABC:$
$$P_{ABC}=AC+AB+BC=AC+2(AE+FC)=AC+2AC+2EF=4AC.$$
$$P_{ABC}=AC+AB+BC=$$
$$=AC+2(AE+FC)=$$
$$=AC+2AC+2EF=4AC.$$
Откуда следует, что $AC=\frac{1}{4}P_{ABC},$ то есть $AC=6.$
Рис. 1
Рис. 2
б) Так как $AC=6,$ то $AB+BC=18.$ По теореме Пифагора (см. рис. 2), имеем: $AB^2=BC^2+AC^2.$ Получаем:
$$\begin{cases} AB+BC=18, \\ BC^2+36=AB^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} BC=18-AB, \\ BC^2+36=324-36BC+BC^2, \end{cases}\Leftrightarrow 36BC=288\Leftrightarrow BC=8.$$
$$\begin{cases} AB+BC=18, \\ BC^2+36=AB^2 \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} BC=18-AB, \\ BC^2+36=324-36BC+BC^2, \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 36BC=288\Leftrightarrow BC=8.$$
Тогда площадь треугольника ABC равна $S_{ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC=24.$
Ответ: б) $24.$
Ответ
б) $24.$
Задача 18
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений
$$\begin{cases} y=|x-a|-4, \\ 4|y|+x^2+8x=0 \end{cases}$$
имеет ровно $4$ различных решения.
Решение
Система уравнений имеет ровно $4$ решения тогда и только тогда, когда графики первого и второго уравнений этой системы имеют ровно четыре общие точки. График функции $y=|x-a|-4$ получают сдвигом графика функции $y=|x|$ на $4$ единицы вниз вдоль оси $Oy$ и на $|a|$ единиц вдоль оси $Ox.$ Второе уравнение системы запишем в виде
$$|y|=-\frac{x^2+8x}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} y\ge 0, \\ y=-\frac{x^2+8x}{4}, \end{cases} \\ \begin{cases} y\lt 0, \\ y=\frac{x^2+8x}{4}.\end{cases} \end{gathered} \right.$$
Графиком второго уравнения системы является объединение частей парабол $y=\pm\frac{x^2+8x}{4},$ построенных на отрезке $[−8; 0].$
Пусть при $a=a_1$ и $a=a_2$ парабола $y=\frac{x^2+8x}{4}$ касается левой и правой ветвей графика функции $y=|x-a|-4,$ то есть прямых $y=a-x-4,$ $y=x-a-4$ соответственно. Найдем $a_1$: касательная имеет с параболой единственную общую точку, а потому при $x\lt a$ должен быть равен нулю дискриминант уравнения
$$\frac{x^2+8x}{4}=a-x-4\Leftrightarrow \frac{1}{4}x^2+3x-(a-4)=0.$$
$$\frac{x^2+8x}{4}=a-x-4\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{4}x^2+3x-(a-4)=0.$$
Находим: $D_1=9+(a-4)=a+5.$ Дискриминант обращается в нуль при $a=-5.$ При этом абсцисса точки касания $x_1=-\frac{b}{2a}=-6$ удовлетворяет условию $x\lt a.$ Следовательно, $a_1=-5.$ Аналогично найдем $a_2$: дискриминант уравнения
$$\frac{x^2+8x}{4}=x-a-4\Leftrightarrow \frac{1}{4}x^2+x+(a+4)=0$$
$$\frac{x^2+8x}{4}=x-a-4\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{4}x^2+x+(a+4)=0$$
равен $D_2=1-(a+4)=-a-3,$ он обращается в нуль при $a=-3.$ При этом абсцисса точки касания $x_2=-2$ удовлетворяет условию $x\ge a.$ Следовательно, $a_2=-3.$
Графики разномонотонных функций имеют не больше одной точки пересечения. Квадратичная функция выпукла, поэтому имеет с прямой не больше двух общих точек. Найденные точки касания $x_1$ и $x_2$ лежат на отрезке $[−8; 0].$ Таким образом, графики уравнений системы расположены так, как показано на рисунке (песочным цветом изображен график первого уравнения, зеленым и красным изображены графики второго уравнения для случаев $a=-5,$ $a=-3.$
При $a=-5,$ $a=-3,$ $a=-4$ графики пересекаются ровно в трех точках. При $-5\lt a\lt -4$ и $-4\lt a\lt -3$ графики пересекаются ровно в четырех точках. При $a\lt -5$ и при $a\gt -3$ одна из ветвей графика модуля не пересекается с графиком второго уравнения, а другая ветвь имеет с ним не больше двух точек пересечения, поэтому прочие значения параметра не удовлетворяют условию.
Ответ: $(-5;-4)\cup (-4;-3).$
Ответ
$(-5;-4)\cup (-4;-3)$
Задача 19
Есть $16$ монеток по $2$ рубля и $29$ монеток по $5$ рублей.
а) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна $175$?
б) Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна $176$?
в) Какое наименьшее количество монеток по $1$ рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от $1$ до $180$ включительно.
Решение
Общая сумма денег равна $16\cdot 2+29\cdot 5=177$ рублей.
а) Да, нужно взять все монеты, кроме одной двухрублевой.
б) Нет, сумма невзятых монет тогда должна давать $1$ рубль, что невозможно.
в) Ясно, что их надо не менее $180-177=3$ штуки. Докажем, что этого хватит. Если нужно представить сумму до $149$ рублей, то возьмем сначала сколько сможем пятирублевых и останется набрать от $0$ до $4$ рублей, что возможно. Например $1, 2, 2 + 1, 2 + 2.$ Если же нужно представить сумму $S$ от $150$ до $180$ рублей, то выберем монеты общей суммой
$$180-S\le 180-150=30$$
(это возможно), оставим их в кармане, а все остальные как раз дадут нужную сумму $S.$
Ответ: а) да, можно; б) нет, нельзя; в) $3.$
Ответ
а) да, можно; б) нет, нельзя; в) $3.$
|
Ответы
|
|---|
|
$52$
|
|
$-2$
|
|
$6$
|
|
$0,25$
|
|
$0,03$
|
|
$4$
|
|
$-3,5$
|
|
$1$
|
|
$9000$
|
|
$10$
|
|
$0,1$
|
|
$4$
|
|
$$\textnormal{а)} \left\{ \pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k, ~k\in\mathbb{Z} \right\}; ~\textnormal{б)} -\frac{19\pi}{6}, ~-\frac{17\pi}{6}.$$
|
|
б) $6.$
|
|
$$(-\infty;0]\cup (log_3~2;1)\cup (1;2]$$
|
|
$990000$ рублей
|
|
б) $24.$
|
|
$(-5;-4)\cup (-4;-3)$
|
|
а) да, можно; б) нет, нельзя; в) $3.$
|