ЕГЭ по математике 2024. Сибирь, Центр.
Задача 1
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $110^\circ$, угол $ABD$ равен $70^\circ$. Найдите угол $CAD.$ Ответ дайте в градусах.
Решение
$$\angle CAD=\frac{1}{2}\cup CD=\frac{1}{2}(\cup ADC-\cup AD)=\angle ABC-\angle ABD=40^\circ.$$
$$\angle CAD=\frac{1}{2}\cup CD=$$
$$=\frac{1}{2}(\cup ADC-\cup AD)=$$
$$\angle ABC-\angle ABD=40^\circ.$$
Ответ: $40$.
Ответ
$40$
Задача 2
Решение
Найдем координаты вектора $5\vec{a}+\vec{b}:$
$$5\vec{a}+\vec{b}=(5\cdot 1+0;~5\cdot 1+7)=(5;12).$$
$$|5\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13.$$
Ответ: $13$.
Ответ
$13$
Задача 3
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,B,C,B_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1,$ площадь основания которой равна $3$, а боковое ребро равно $8$.
Решение
$$S=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot BB_1=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 8=8.$$
Ответ: $8$.
Ответ
$8$
Задача 4
В сборнике билетов по математике всего $20$ билетов, в $11$ из них встречается вопрос по теме «Логарифмы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Логарифмы».
Решение
$$\frac{11}{20}=0,55.$$
Ответ: $0,55$.
Ответ
$0,55$
Задача 5
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна $0,3.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение
Найдем вероятность того, что перегорят три лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: $0,3\cdot 0,3\cdot 0,3=0,027$.
Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа — противоположное. Следовательно, его вероятность равна $1−0,027=0,973.$
Ответ: $0,973$.
Ответ
$0,973$
Задача 6
Найдите корень уравнения $\sqrt{15-2x}=3.$
Решение
$$\sqrt{15-2x}=3\Leftrightarrow 15-2x=9\Leftrightarrow -2x=-6\Leftrightarrow x=3.$$
$$\sqrt{15-2x}=3\Leftrightarrow 15-2x=9\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow -2x=-6\Leftrightarrow x=3.$$
Ответ: $3$.
Ответ
$3$
Задача 7
$$2\sqrt{2}~cos^2\frac{3\pi}{8}-\sqrt{2.}$$
Решение
Вынесем общий множитель за скобку и используем формулу косинуса двойного угла $cos~2\alpha=2~cos^2\alpha-1.$ Имеем:
$$2\sqrt{2}~cos^2\frac{3\pi}{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\left( 2~cos^2\frac{3\pi}{8}-1 \right)=\sqrt{2}~cos\frac{3\pi}{4}=\sqrt{2}\cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=-1.$$
$$2\sqrt{2}~cos^2\frac{3\pi}{8}-\sqrt{2}=$$
$$=\sqrt{2}\left( 2~cos^2\frac{3\pi}{8}-1 \right)=$$
$$=\sqrt{2}~cos\frac{3\pi}{4}=\sqrt{2}\cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=-1.$$
Ответ: $-1$.
Ответ
$-1$
Задача 8
На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−4; 7).$ В какой точке отрезка $[−3; 1]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?
Решение
На заданном отрезке производная функции неположительна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке $−3.$
Ответ: $-3$.
Ответ
$-3$
Задача 9
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v_0=19$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a=2$ м/с$^2$. За $t$ — секунд после начала торможения он прошёл путь $S=v_0t-\frac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $90$ метров. Ответ выразите в секундах.
Решение
Найдем, за какое время, прошедшее от момента начала торможения, автомобиль проедет $27$ метров:
$$19t-t^2=90\Leftrightarrow t^2-19t+90=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t=9,\\t=10. \end{gathered} \right.$$
$$19t-t^2=90\Leftrightarrow t^2-19t+90=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t=9,\\t=10. \end{gathered} \right.$$
Значит, через $9$ секунд после начала торможения автомобиль проедет $90$ метров.
Ответ: $9$.
Ответ
$9$
Задача 10
Даша и Маша пропалывают грядку за $12$ минут, а одна Маша — за $20$ минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Решение
За минуту Маша пропалывает одну двадцатую грядки, а Маша с Дашей вместе — одну двенадцатую. Поэтому за одну минуту Даша пропалывает $\frac{1}{12}-\frac{1}{20}=\frac{1}{30}$ грядки. Всю грядку она прополет за $30$ минут.
Ответ: $30$.
Ответ
$30$
Задача 11
На рисунке изображён график функции вида $f(x)=a^x.$ Найдите значение $f(2).$
Решение
Множество значений функции $f(x)=a^x$ — интервал $(0;+\infty).$ Учитывая, что $f(1)=5$ и $a\gt 0$ найдём $a:$
$$5=a^1\Leftrightarrow a=5.$$
Значит, $f(x)=5^x.$ Найдём $f(2):$
$$f(2)=5^2=25.$$
Ответ: $25$.
Ответ
$25$
Задача 12
Найдите точку минимума функции $y=2x-ln(x-3)+5.$
Решение
$$y’=2-\frac{1}{x-3}.$$
Найдем нули производной:
$$2-\frac{1}{x-3}=0\Leftrightarrow \frac{1}{x-3}=2\Leftrightarrow x-3=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=3,5.$$
$$2-\frac{1}{x-3}=0\Leftrightarrow \frac{1}{x-3}=2\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow x-3=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=3,5.$$
Искомая точка минимума $x=3,5.$
Ответ: $3,5$.
Ответ
$3,5$
Задача 13
а) Решите уравнение $cos\left( \frac{\pi}{2}+2x \right)=\sqrt{2}~sin~x.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;-\frac{3\pi}{2} \right].$
Решение
а) По формуле приведения: $cos\left( \frac{\pi}{2}+2x \right)=-sin~2x.$ По формуле синуса двойного угла: $-sin~2x=-2~sin~x~cos~x.$ Тогда исходное уравнение примет вид $-2~sin~x~cos~x=\sqrt2~sin~x.$ Выносим $sin~x$ за скобки и приравниваем оба множителя к нулю:
$$sin~x\left( \sqrt{2}+2~cos~x \right)=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} sin~x=0, \\ cos~x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=\pi k, \\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k, \\ x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k, \end{gathered} \right. k\in\mathbb{Z}.$$
б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;-\frac{3\pi}{2} \right].$ Получим числа $-3\pi,~-\frac{11\pi}{4},~-2\pi.$
Ответ: $\textnormal{а)} \left\{ -\frac{3\pi}{4}+2\pi k,~\frac{3\pi}{4}+2\pi k,~\pi k:k\in\mathbb{Z} \right\}; \textnormal{б)} -3\pi,~-\frac{11\pi}{4},-2\pi.$.
Ответ
Задача 14
Дана правильная пирамида $SABC$ с основанием $ABC,$ точки $K$ и $M$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. Точки $N$ и $L$ на сторонах $BC$ и $SA$ соответственно расположены таким образом, что $LA = 4SL$ и прямые $NL$ и $MK$ пересекаются.
а) Докажите, что прямые $LK,$ $MN$ и $BS$ пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение $CN:NB.$
Решение
а) Так как прямые $NL$ и $MK$ пересекаются, то они лежат в одной плоскости и, следовательно, точки $K, L, M, N$ также лежат в одной плоскости и образуют сечение пирамиды $KLMN.$ Прямая $LK$ является прямой пересечения плоскостей $KLM$ и $SAB$ и не параллельна прямой $BS.$ Пусть прямые $LK$ и $BS$ пересекаются в точке $F.$ Точка $F$ является точкой пересечения плоскости $KLM$ с прямой $BS.$ Заметим, что, таким образом, плоскость $KLM$ не параллельна прямой $BS.$ Прямая $MN$ является прямой пересечения плоскостей $KLM$ и $SBC.$ Так как $MN$ лежит в $KLM,$ то пересекается с $BS$ в общей точке прямой $BS$ и плоскости $KLM,$ то есть в точке $F,$ следовательно, это общая точка трех прямых $LK,$ $MN$ и $BS.$
б) Рассмотрим треугольник $SAB$ и прямую $KF,$ по теореме Менелая:
$$\frac{BF}{FS}\cdot\frac{SL}{LA}\cdot\frac{AK}{KB}=1\Leftrightarrow \frac{BF}{FS}=\frac{LA}{SL}\cdot\frac{KB}{AK}=\frac{4}{1}.$$
$$\frac{BF}{FS}\cdot\frac{SL}{LA}\cdot\frac{AK}{KB}=1\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{BF}{FS}=\frac{LA}{SL}\cdot\frac{KB}{AK}=\frac{4}{1}.$$
Рассмотрим треугольник $SBC$ и прямую $NF,$ по теореме Менелая:
$$\frac{CN}{NB}\cdot\frac{BF}{FS}\cdot\frac{SM}{MC}=1\Leftrightarrow \frac{CN}{NB}=\frac{FS}{BF}\cdot\frac{MC}{SM}=\frac{1}{4}.$$
$$\frac{CN}{NB}\cdot\frac{BF}{FS}\cdot\frac{SM}{MC}=1\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{CN}{NB}=\frac{FS}{BF}\cdot\frac{MC}{SM}=\frac{1}{4}.$$
Ответ: $1:4$.
Ответ
$1:4$
Задача 15
$$\frac{3^x-9}{3^x+9}+\frac{3^x+9}{3^x-9}\ge \frac{12\cdot 3^x+144}{(3^x-9)(3^x+9)}.$$
Решение
Пусть $t=3^x$ и $t\gt 0.$ Подставим:
$$\frac{t-9}{t+9}+\frac{t+9}{t-9}\ge \frac{12t+144}{(t-9)(t+9)}\Leftrightarrow $$
$$\frac{t-9}{t+9}+\frac{t+9}{t-9}-\frac{12t+144}{(t-9)(t+9)}\ge 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{(t-9)^2+(t+9)^2-(12t+144)}{(t+9)(t-9)}\ge0\Leftrightarrow $$
$$\frac{t^2-18t+81+t^2+18t+81-12t-144}{(t+9)(t-9)}\ge 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{t^2-18t+81+t^2+18t+81-12t-144}{(t+9)(t-9)}\ge $$
$$\ge 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{2t^2-12t+18}{(t+9)(t-9)}\ge 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{t^2-6t+9}{(t+9)(t-9)}\ge 0\Leftrightarrow $$
$$\frac{(t-3)^2}{(t+9)(t-9)}\ge 0\Leftrightarrow $$
$$\left[ \begin{gathered} t=3, \\ t\lt -9, \\ t\gt 9 \end{gathered} \right. \underset{t\gt 0}{\Leftrightarrow } \left[ \begin{gathered} t=3, \\ t\gt 9. \end{gathered} \right.$$
$$\left[ \begin{gathered} 3^x=3, \\ 3^x\gt9 \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=1, \\ x\gt 2.\end{gathered} \right.$$
Ответ: $\left\{ 1 \right\}\cup (2;+\infty)$.
Ответ
Задача 16
В июле $2023$ года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $65 500$ рублей больше суммы, взятой в кредит?
Решение
Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, а ежегодная выплата равна $x$ рублей. Каждый январь долг увеличивается на $25\%,$ то есть в $k=1,25$ раз. Заполним таблицу.
|
Год (номер года).
|
Долг в январе, руб.
|
Выплат, руб.
|
Долг в июле, в руб.
|
|---|---|---|---|
|
|
|
||
$$k(k(kS-x)-x)-x=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow k^3S-x(k^2+k+1)=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow S=\frac{x(k^2+k+1)}{k^3}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow S=\frac{x(k^3-1)}{k^3(k-1)}~.$$
Тогда, учитывая, что $k=1,25=\frac{5}{4},$ получаем:
$$S=\frac{\left( \frac{5}{4}\right)^3-1}{\left( \frac{5}{4} \right)^3\left( \frac{5}{4}-1 \right)}x=\frac{\frac{125}{64}-1}{\frac{125}{64}\cdot \frac{1}{4}}x=\frac{4\cdot 61\cdot64}{125\cdot 64}x=\frac{244x}{125}~.$$
$$S=\frac{\left( \frac{5}{4}\right)^3-1}{\left( \frac{5}{4} \right)^3\left( \frac{5}{4}-1 \right)}x=\frac{\frac{125}{64}-1}{\frac{125}{64}\cdot \frac{1}{4}}x=$$
$$=\frac{4\cdot 61\cdot64}{125\cdot 64}x=\frac{244x}{125}~.$$
Сумма выплат на $65 500$ рублей больше суммы, взятой в кредит. Значит, $3x-65500=S,$ откуда $x=\frac{S+65500}{3}.$ Подставив это значение, получаем уравнение:
$$S=\frac{\frac{S+65500}{3}\cdot244}{125}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 375S=244S+244\cdot 65500\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 131S=244\cdot 65500\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow S=244\cdot 500\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow S=122000 ~\textnormal{рублей}.$$
Ответ: $122000$.
Ответ
$122000$
Задача 17
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB=CD=3$ и $BC=DE=4.$
а) Докажите, что $AC=CE$
б) Найдите длину диагонали $BE,$ если $AD=6.$
Решение
Рис. 1
Рис. 2
б) Пусть $AD$ пересекается с $BE$ в точке $M$ (см. рис. 2). Дуги, стягиваемые равными хордами, равны, поэтому углы $DCE$ и $BEC$ равны. Следовательно, прямая $CD$ параллельна прямой $BE.$ Аналогично прямая $BC$ параллельна прямой $AD.$ Значит, $BCDM$ — параллелограмм, а потому $BC=DM=4$ и $CD=BM=3.$ По свойству пересекающихся хорд получаем:
$$BM\cdot ME=DM\cdot MA\Leftrightarrow BM\cdot ME=DM(AD-DM),$$
$$BM\cdot ME=DM\cdot MA\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow BM\cdot ME=DM(AD-DM),$$
откуда $ME=\frac{8}{3}$.Таким образом, $BE=BM+ME,$ следовательно, $BE=\frac{17}{3}.$
Ответ: б) $\frac{17}{3}$.
Ответ
Задача 18
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{cases} x+y=a, \\ |y|=|x^2-2x| \end{cases}$$
Решение
Запишем второе уравнение системы в виде: $y=\pm(x^2-2x),$ его графиком являются две параболы, симметричные относительно оси абсцисс, с общими точками $(0; 0)$ и $(2; 0).$ Найдём такие $a,$ при которых прямая $y=a-x$ является касательной к графику $y=x^2-2x.$ Решим соответствующее уравнение и найдём нуль дискриминанта:
$$x^2-2x=a-x\Leftrightarrow x^2-x-a=0;$$
Дискриминант $D_1=1+4a,$ он равен нулю при $a=-\frac{1}{4},$ откуда $x=\frac{1}{2},$ $y=-\frac{3}{4}.$
Аналогично найдём такие $a,$ при которых прямая $y=a-x$ является касательной к графику $y=-(x^2-2x):$
$$-(x^2-2x)=a-x\Leftrightarrow x^2-3x+a=0;$$
Дискриминант $D_2=9-4a,$ он равен нулю при $a=\frac{9}{4},$ откуда $x=\frac{3}{2},$ $y=\frac{3}{4}.$
Если $a\lt -\frac{1}{4},$ то у прямой $y=a-x$ нет общих точек с графиком $y=x^2-2x,$ а с графиком $y=-(x^2-2x)$ — две общие точки.
Если $a=-\frac{1}{4},$ то у прямой $y=a-x$ одна общая точка $\left( \frac{1}{2};-\frac{3}{4} \right)$ с графиком $y=x^2-2x,$ но эта же точка является точкой внутренней области графика $y=-(x^2-2x),$ значит, будет $3$ общих точки.
Если $-\frac{1}{4}\lt a\lt \frac{9}{4},$ то прямая $y=a-x$ пересекает каждую параболу в двух точках, которые не могут совпасть полностью, так как это происходит в точках $(0; 0)$ и $(2; 0),$ поэтому будет минимум $3$ решения.
Если $a=\frac{9}{4},$ то у прямой $y=a-x$ одна общая точка $\left( \frac{3}{2};\frac{3}{4} \right)$ с графиком $y=-(x^2-2x),$ но эта же точка является точкой внутренней области графика $y=x^2-2x,$ значит, будет $3$ общих точки.
Если $a\gt \frac{9}{4},$ то у прямой $y=a-x$ нет общих точек с графиком $y=-(x^2-2x),$ а с графиком $y=x^2-2x$ — две общие точки.
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два решения при $a\in \left( -\infty;-\frac{1}{4} \right)\cup \left( \frac{9}{4};+\infty \right).$
Ответ: $\left( -\infty;-\frac{1}{4} \right)\cup \left( \frac{9}{4};+\infty \right)$.
Приведём другое решение.
Перепишем второе уравнение: $y=\pm(x^2-2x),$ то есть необходимо, чтобы уравнение $a-x=\pm(x^2-2x)$ имело равно два различных решения.
$$x^2-2x=\pm(a-x)\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x^2-x-a=0,~(1) \\ x^2-3x+a=0.~(2) \end{gathered} \right.$$
$$x^2-2x=\pm(a-x)\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x^2-x-a=0,~(1) \\ x^2-3x+a=0.~(2) \end{gathered} \right.$$
Дискриминант уравнения $(1)$ равен $D_1=1+4a,$ его корни $x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2},$ дискриминант уравнения $(2)$ равен $D_1=9-4a,$ его корни $x_{3,4}=\frac{3\pm\sqrt{9-4a}}{2}.$
Рассмотрим все возможные значения дискриминантов.
1) Первое уравнение не имеет решений, второе имеет два различных, то есть $D_1\lt 0,$ $D_2\gt 0:$
$$\begin{cases} 1+4a\lt 0, \\ 9-4a\gt 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a\lt-\frac{1}{4}, \\ a\lt\frac{9}{4} \end{cases}\Leftrightarrow a\lt-\frac{1}{4}.$$
2) Первое уравнение имеет одно решение, второе имеет два различных, одно из которых совпадает с решением первого, то есть $D_1=0,$ $D_2\gt 0:1+4a=0,$ значит, $a=-\frac{1}{4},$ откуда $x_{1,2}=\frac{1}{2}.$ Необходимо, чтобы
$$\frac{1}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9-4\cdot\left( -\frac{1}{4} \right)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{10}}{2},$$
что ложно.
3) Оба уравнения имеют по два решения, которые попарно совпадают, то есть $D_1\gt 0,$ $D_2\gt 0,$ $x_1=x_3,$ $x_2=x_4:$
$$\begin{cases} 1+4a\gt 0, \\ 9-4a\gt 0 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} a\gt-\frac{1}{4}, \\ a\lt\frac{9}{4}. \end{cases}$$
$$\frac{1\pm \sqrt{1+4a}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{9-4a}}{2}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 1\pm \sqrt{1+4a}=3\pm \sqrt{9-4a}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \pm\sqrt{1+4a}=2\pm \sqrt{9-4a}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sqrt{1+4a}=2+\sqrt{9-4a,} \\ -\sqrt{1+4a}=2-\sqrt{9-4a} \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 1+4a=4+4\sqrt{9-4a}+9-4a, \\ 1+4a=4-4\sqrt{9-4a}+9-4a \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 4\sqrt{9-4a}=8a-12,\\ 4\sqrt{9-4a}=12-8a \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sqrt{9-4a}=2a-3,\\ \sqrt{9-4a}=3-2a \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 9-4a=4a^2-12a+9,a\ge\frac{3}{2},\\ 9-4a=9-12a+4a^2,a\le\frac{3}{2} \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 8a-4a^2=0,a\ge\frac{3}{2}, \\ 8a-4a^2=0,a\le\frac{3}{2} \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a(2-a)=0,a\ge \frac{3}{2}, \\ a(2-a)=0,a\le \frac{3}{2} \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a=2, \\ a=0. \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
При $a=2$ $x_1=2,$ $x_2=-1,$ $x_3=2,$ $x_4=1$ — три различных решения.
При $a=0$ $x_1=1,$ $x_2=0,$ $x_3=3,$ $x_4=0$ — три различных решения.
4) Первое уравнение не имеет решений, а второе имеет два совпадающих, то есть $D_1\lt 0,$ $D_2=0$ — не подходит.
5) Оба уравнения имеют по два совпадающих решения, при этом различных между собой, то есть $D_1=0,$ $D_2=0:$
$$x_{1,2}=\frac{1}{2},~x_{3,4}=\frac{3}{2}.$$
6) Второе уравнение имеет одно решение, первое имеет два различных, одно из которых совпадает с решением второго, то есть $D_2=0,$ $D_1\gt0:9-4a=0,$ значит, $a=\frac{9}{4},$ откуда $x_{3,4}=\frac{3}{2}.$ Необходимо, чтобы
$$\frac{3}{2}=\frac{1\pm\sqrt{1+4\cdot\frac{9}{4}}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{10}}{2},$$
что ложно.
7) Оба уравнения не имеют решений, то есть $D_1\lt 0,$ $D_2\gt0$ — не подходит.
8) Второе уравнение не имеет решений, а первое имеет два совпадающих, то есть $D_2\lt 0,$ $D_1=0$ — не подходит.
$$\begin{cases} 1+4a\gt 0, \\ 9-4a\lt 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a\gt -\frac{1}{4}, \\ a\gt \frac{9}{4} \end{cases}\Leftrightarrow a\gt\frac{9}{4}~.$$
Итак, условию удовлетворяют только случаи $1)$ и $9),$ откуда получаем, что исходная система уравнений имеет два различных решения при $a\in \left( -\infty;-\frac{1}{4} \right) \cup \left( \frac{9}{4};+\infty \right).$
Ответ: $\left( -\infty;-\frac{1}{4} \right)\cup \left( \frac{9}{4};+\infty \right)$.
Ответ
Задача 19
В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна $20$ тонн или $40$ тонн. В некоторых контейнерах находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет $60\%$ от общего числа контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять $50\%$ от общей массы?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять $40\%$ от общей массы?
в) Какую наибольшую долю в процентах может составлять масса контейнеров с сахарным песком от общей массы?
Решение
Поскольку можно найти $60\%$ контейнеров, общее число контейнеров должно быть кратно $5.$ Пусть оно равно $5x,$ тогда $3x$ из них содержат сахарный песок.
а) Да. Пусть есть $4$ контейнера по $20$ тонн и один $40$ тонн, при этом сахарным песком заполнены три контейнера по $20$ тонн. Это дает $60$ тонн, то есть ровно $50\%$ от $4\cdot 20+40=120$ тонн.
б) Заменим все контейнеры с сахарным песком на двадцатитонные, а все остальные — на сорокатонные. От этого доля сахарного песка среди всего груза только уменьшится. Но даже теперь она составит лишь
$$\frac{3x\cdot 20}{2x\cdot 40+3x\cdot 20}=\frac{60x}{140x}=\frac{30}{70}\gt 0,4=\frac{28}{70}.$$
$$\frac{3x\cdot 20}{2x\cdot 40+3x\cdot 20}=\frac{60x}{140x}=$$
$$=\frac{30}{70}\gt 0,4=\frac{28}{70}.$$
$$\frac{3x\cdot 40}{2x\cdot 20+3x\cdot 40}=\frac{120x}{160x}=\frac{3}{4},$$
то есть $75\%.$ Это значение достигается, например, для трех контейнеров с сахарным песком по $40$ тонн и двух других контейнеров по $20$ тонн.
Ответ: a) да, может; б) нет, не может; в) $75\%.$.
Ответ
|
Ответы
|
|---|
|
$40$
|
|
$13$
|
|
$8$
|
|
$0,55$
|
|
$0,973$
|
|
$3$
|
|
$-1$
|
|
$-3$
|
|
$9$
|
|
$30$
|
|
$25$
|
|
$3,5$
|
|
$$\textnormal{а)} \left\{ -\frac{3\pi}{4}+2\pi k,~\frac{3\pi}{4}+2\pi k,~\pi k:k\in\mathbb{Z} \right\}; \textnormal{б)} -3\pi,~-\frac{11\pi}{4},-2\pi.$$
|
|
$1:4$
|
|
$\left\{ 1 \right\}\cup (2;+\infty)$
|
|
$122000$
|
|
$$\text{б)} ~\frac{17}{3}$$
|
|
$$\left( -\infty;-\frac{1}{4} \right)\cup \left( \frac{9}{4};+\infty \right)$$
|
|
a) да, может; б) нет, не может; в) $75\%.$
|