ЕГЭ по математике 2025. Основная волна. Центр.
Задача 1
В треугольнике $ABC$ $AD$ — биссектриса, угол $C$ равен $50^\circ,$ угол $CAD$ равен $28^\circ,$ Найдите угол $B.$ Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как $AD$ — биссектриса, она делит угол пополам. Имеем
$$\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-2\angle CAD-\angle C=180^\circ-2\cdot 28^\circ-50^\circ=74^\circ.$$
$$\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=$$
$$=180^\circ-2\angle CAD-\angle C=$$
$$=180^\circ-2\cdot 28^\circ-50^\circ=74^\circ.$$
Ответ: $74$.
Ответ
$74$
Задача 2
Даны векторы $\vec{a}=(1;2), ~\vec{b}=(-3;6)$ и $\vec{c}=(4;-2)$ Найдите длину вектора $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}.$
Решение
Найдем координаты вектора $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}:$
$$\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=(1-(-3)+4; ~2-6-2)=(8;-6).$$
$$\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=$$
$$=(1-(-3)+4; ~2-6-2)=(8;-6).$$
Длина вектора равна:
$$|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{8^2+(-6)^2}=\sqrt{64+36}=10.$$
$$|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}|=$$
$$=\sqrt{8^2+(-6)^2}=\sqrt{64+36}=10.$$
Ответ: $10$.
Ответ
$10$
Задача 3
Площадь поверхности шара равна $24$. Найдите площадь большого круга шара.
Решение
Площадь большого круга равна $\pi R^2$, где $R$ — радиус шара, а площадь поверхности шара равна $4\pi R^2$ — в $4$ раза больше. Следовательно, искомая площадь равна $6.$
Ответ: $6$.
Ответ
$6$
Задача 4
В чемпионате по гимнастике участвуют $20$ спортсменок: $8$ из России, $7$ из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
Решение
В чемпионате принимает участие $20−(8+7)=5$ спортсменок из Китая. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна
$$\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=0,25.$$
Ответ: $0,25$.
Ответ
$0,25$
Задача 5
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна $0,02.$ Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна $0,99.$ Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна $0,01.$ Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Решение
Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате следующих событий: батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или батарейка исправна, но по ошибке забракована. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно $0,02 \cdot 0,99$ и $0,98 \cdot 0,01.$
События быть неисправной батарейкой или быть исправной образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно происходит), поэтому можно применить формулу полной вероятности. Получим:
$$0,0198+0,0098=0,0296.$$
Ответ: $0,0296$.
Ответ
$0,0296$
Задача 6
Найдите корень уравнения:
$$16^{x-9}=\frac{1}{2}.$$
Решение
$$16^{x-9}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2^{4(x-9)}=2^{-1}\Leftrightarrow 4x-36=-1\Leftrightarrow x=\frac{35}{4}\Leftrightarrow x=8,75.$$
$$16^{x-9}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2^{4(x-9)}=2^{-1}\Leftrightarrow 4x-36=$$
$$=-1\Leftrightarrow x=\frac{35}{4}\Leftrightarrow x=8,75.$$
Ответ: $8,75$.
Ответ
$8,75$
Задача 7
Найдите значение выражения $log_{3}1,8+log_{3}5.$
Решение
$$log_{3}1,8+log_{3}5=log_{3}(1,8\cdot 5)=log_{3}9=2.$$
$$log_{3}1,8+log_{3}5=log_{3}(1,8\cdot 5)=log_{3}9=2.$$
Ответ: $2$.
Ответ
$2$
Задача 8
На рисунке изображен график производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−18; 6).$ Найдите количество точек минимума функции $f(x)$ на отрезке $[−13; 1].$
Решение
Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке $[−13; 1]$ функция имеет одну точку минимума $x=−9.$
Ответ: $1$.
Ответ
$1$
Задача 9
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=5000$ км/ч$^2.$ Скорость вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный автомобилем путь в км. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $100$ км/ч.
Решение
Преобразуем данную в условии формулу:
$$v=\sqrt{2la}\Leftrightarrow v^2=2la\Leftrightarrow l=\frac{v^2}{2a}.$$
$$l=\frac{100^2}{2 \cdot 5000}=\frac{10000}{2 \cdot 5000}=1~\textnormal{км}.$$
Ответ: $1$.
Ответ
$1$
Задача 10
Катер в $10:00$ вышел по течению реки из пункта $A$ в пункт $B,$ расположенный в $36$ км от $A.$ Пробыв $2$ часа в пункте $B,$ катер отправился назад и вернулся в пункт $A$ в $17:00$ того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/час), если известно, что скорость течения реки равна $3$ км/ч.
Решение
Пусть $u$ км/ч — собственная скорость катера, тогда скорость катера по течению равна $u+3$ км/ч, а скорость катера против течения равна $u-3$ км/ч. На весь путь катер затратил $7-2=5$ (часов), отсюда имеем:
$$\frac{36}{u-3}+\frac{36}{u+3}=5\Leftrightarrow \frac{72u}{u^2-9}=5\Leftrightarrow 5u^2-72u-45=0\Leftrightarrow $$
$$\frac{36}{u-3}+\frac{36}{u+3}=5\Leftrightarrow \frac{72u}{u^2-9}=5\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 5u^2-72u-45=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} u=\frac{72+\sqrt{72^2+4 \cdot 45 \cdot 5}}{10}=15; \\ u=\frac{72-\sqrt{72^2+4 \cdot 45 \cdot 5}}{10}=-\frac{3}{5} \end{gathered} \right.\underset{u>0}{\Leftrightarrow }u=15.$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} u=\frac{72+\sqrt{72^2+4 \cdot 45 \cdot 5}}{10}=15; \\ u=\frac{72-\sqrt{72^2+4 \cdot 45 \cdot 5}}{10}=-\frac{3}{5} \end{gathered} \right.\underset{u>0}{\Leftrightarrow }$$
$$\underset{u>0}{\Leftrightarrow }u=15.$$
Таким образом, собственная скорость катера равна $15$ км/ч.
Ответ: $15$.
Ответ
$15$
Задача 11
На рисунке изображены графики функций $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$
Решение
По рисунку находим, что $f(1)=-5.$ Найдём значение $k:$
$$-5=\frac{k}{1}\Leftrightarrow k=-5.$$
Значит, $f(x)=\frac{-5}{x}.$
По рисунку находим, что $g(1)=-5,$ $g(5)=-3.$ Найдём значения коэффициентов $a$ и $b:$
$$a=\frac{g(5)-g(1)}{5-1}=\frac{-3-(-5)}{4}=0,5,$$$$-5=0,5 \cdot 1+b\Leftrightarrow b=-5,5.$$
Значит, $g(x)=0,5x-5,5.$
Найдём абсциссу точки $B:$
$$\frac{-5}{x}=0,5x-5,5\Leftrightarrow 0,5x^2-5,5x+5=0\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} x=1, \\ x=10.\end{gathered}\right.$$
$$\frac{-5}{x}=0,5x-5,5\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 0,5x^2-5,5x+5=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} x=1, \\ x=10.\end{gathered}\right.$$
Таким образом, $x_B=10.$
Ответ: $10$.
Ответ
$10$
Задача 12
Найдите точку максимума функции $y=x^3-48x+17.$
Решение
$$y’=3x^2-48=3(x^2-16)=3(x-4)(x+4).$$
$$y’=3x^2-48=3(x^2-16)=$$
$$=3(x-4)(x+4).$$
$$3(x-4)(x+4)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} x=-4, \\ x=4. \end{gathered}\right.$$
Искомая точка максимума $x=-4.$
Ответ: $-4$.
Ответ
$-4$
Задача 13
а) Решите уравнение:
$$2-2~cos^2~x+\sqrt{3}~sin~x=$$
$$=\sqrt{3}-2~sin(x+\pi)$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi;-\frac{5\pi}{2} \right].$
Решение
$$2-2~cos^2~x+\sqrt{3}~sin~x=\sqrt{3}-2~sin(x+\pi)\Leftrightarrow $$
$$2-2~cos^2~x+\sqrt{3}~sin~x=$$
$$=\sqrt{3}-2~sin(x+\pi)\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 2-2+2~sin^2~x+\sqrt{3}~sin~x=\sqrt{3}+2~sin~x\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 2-2+2~sin^2~x+\sqrt{3}~sin~x=$$
$$=\sqrt{3}+2~sin~x\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 2~sin^2~x+\sqrt{3}~sin~x-2~sin~x-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 2~sin^2~x+\sqrt{3}~sin~x-2~sin~x-\sqrt{3}= $$
$$=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow sin~x(2~sin~x+\sqrt{3})-(2~sin~x+\sqrt{3})=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow sin~x(2~sin~x+\sqrt{3})-$$
$$-(2~sin~x+\sqrt{3})=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow (2~sin~x+\sqrt{3})(sin~x-1)=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} sin~x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \\ sin~x=1 \end{gathered}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k, \\ x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k, \\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, \end{gathered}\right.~k\in \mathbb{Z}.$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} sin~x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \\ sin~x=1 \end{gathered}\right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k, \\ x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k, \\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, \end{gathered}\right.~k\in \mathbb{Z}.$$
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Отрезку принадлежат числа $-\frac{7\pi}{2},$ $-\frac{8\pi}{3}.$
Ответ: a) $\left\{ -\frac{2\pi}{3}+2\pi k;-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k:k\in \mathbb{Z} \right\};$ б) $-\frac{7\pi}{2},~-\frac{8\pi}{3}.$
Ответ: a) $\left\{ -\frac{2\pi}{3}+2\pi k;-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k:k\in \mathbb{Z} \right\};$ б) $-\frac{7\pi}{2},~-\frac{8\pi}{3}.$
Ответ
$$\text{а)}~\left\{ -\frac{2\pi}{3}+2\pi k;-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k:k\in \mathbb{Z} \right\};$$
$$\text{б)}~-\frac{7\pi}{2},~-\frac{8\pi}{3}.$$
а) $\left\{ -\frac{2\pi}{3}+2\pi k;-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k:k\in \mathbb{Z} \right\};$
б) $-\frac{7\pi}{2},~-\frac{8\pi}{3}.$
Задача 14
Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD.$ Плоскость $\alpha$ проходит через ребро $AB$ и пересекает ребра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AB=AN=BM=5MN.$
а) Докажите, что $SM:MC=SN:ND=1:4.$
б) Найдите косинус угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды.
Решение
а) Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, значит, ребра $AB$ и $DC$ параллельны, а потому и плоскость $\alpha$ параллельна ребру $DC.$ Следовательно, лежащая в плоскости $\alpha$ прямая $MN$ также параллельна ребру $DC.$ Тогда треугольники $SNM$ и $SDC$ подобны по двум углам с коэффициентом $\frac{1}{5}.$ Таким образом, $SN : SD = 1 : 5,$ а потому $SN : ND = 1 : 4.$ Поскольку боковые ребра правильной пирамиды равны, $SM : MC = 1 : 4.$
б) Пусть $MN=x$ и $SM=y,$ тогда $MC=4y$ и $AB=AN=BM=5x,$ и пусть точки $K, P$ и $Q$ — середины отрезков $AB, MN$ и $DC$ соответственно.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен $PK,$ а гипотенуза равна $BM.$ Тогда второй катет такого треугольника будет равен $BK–MP.$ Аналогично получается прямоугольный треугольник с катетами $PQ, QC–PM$ и гипотенузой $MC.$ Применим к обоим фигурам теорему Пифагора:
$$PK^2=BM^2-(BK-MP)^2=(5x)^2-\left( \frac{5x}{2}-\frac{x}{2} \right)^2=21x^2,$$
$$PK^2=BM^2-(BK-MP)^2=$$
$$=(5x)^2-\left( \frac{5x}{2}-\frac{x}{2} \right)^2=21x^2,$$
$$PQ^2=MC^2-(QC-PM)^2=(4y)^2-\left( \frac{5x}{2}-\frac{x}{2} \right)^2=16y^2-4x^2.$$
$$PQ^2=MC^2-(QC-PM)^2=$$
$$=(4y)^2-\left( \frac{5x}{2}-\frac{x}{2} \right)^2=16y^2-4x^2.$$
Косинус искомого угла равен косинусу угла между прямыми, перпендикулярными линии пересечения этих плоскостей, то есть $cos \angle PKQ$ — искомый. Воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике $PKQ:$
$$cos\angle PKQ=\frac{PK^2+KQ^2-PQ^2}{2\cdot PK\cdot KQ}=\frac{21x^2+25x^2-16y^2+4x^2}{2\cdot\sqrt{21}x\cdot5x}=\frac{50x^2-16y^2}{10\sqrt{21}x^2}.$$
$$cos\angle PKQ=\frac{PK^2+KQ^2-PQ^2}{2\cdot PK\cdot KQ}=$$
$$=\frac{21x^2+25x^2-16y^2+4x^2}{2\cdot\sqrt{21}x\cdot5x}=$$
$$=\frac{50x^2-16y^2}{10\sqrt{21}x^2}.$$
В равнобедренном треугольнике $SBC$ найдем косинус угла $SCB$:
$$cos\angle SCB=\frac{25x^2+25y^2-25y^2}{2\cdot 5x\cdot 5y}=\frac{25x^2}{50xy}=\frac{x}{2y}.$$
$$cos\angle SCB=\frac{25x^2+25y^2-25y^2}{2\cdot 5x\cdot 5y}=$$
$$=\frac{25x^2}{50xy}=\frac{x}{2y}.$$
Косинус этого же угла выразим из треугольника $MBC:$
$$cos\angle SBC=\frac{16y^2+25x^2-25x^2}{2\cdot 5x\cdot 4y}=\frac{16y^2}{40xy}=\frac{2y}{5x}.$$
$$cos\angle SBC=\frac{16y^2+25x^2-25x^2}{2\cdot 5x\cdot 4y}=$$
$$=\frac{16y^2}{40xy}=\frac{2y}{5x}.$$
$$\frac{x}{2y}=\frac{2y}{5x}\Leftrightarrow 5x^2=4y^2\Leftrightarrow x^2=0,8y^2.$$
$$cos\angle PKQ=\frac{40y^2-16y^2}{\sqrt{21}\cdot 8y^2}=\frac{24y^2}{\sqrt{21}\cdot 8y^2}=\frac{3}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.$$
$$cos\angle PKQ=\frac{40y^2-16y^2}{\sqrt{21}\cdot 8y^2}=$$
$$=\frac{24y^2}{\sqrt{21}\cdot 8y^2}=\frac{3}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.$$
Ответ: б) $\frac{\sqrt{21}}{7}$.
Ответ
$$\text{б)}~\frac{\sqrt{21}}{7}$$
Задача 15
Решите неравенство:
$$\frac{x^3-x^2-x+1}{4^{x^2}-16\cdot 2^{x^2}+64}\le 0.$$
Решение
$$x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^2-1)=(x-1)^2(x+1),$$
$$x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=$$
$$=(x-1)(x^2-1)=(x-1)^2(x+1),$$
$$4^{x^2}-16\cdot 2^{x^2}+64=(2^{x^2}-8)^2.$$
Решим неравенство методом интервалов и рационализации, для этого применим теорему о знаках: при положительных $a$ выражения $(a^b-a^c)$ и $(a-1)(b-c)$ имеют одинаковые знаки. Получим:
$$\frac{(x-1)^2(x+1)}{(2^{x^2}-8)^2}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow\frac{(x-1)^2(x+1)}{(2^{x^2}-2^3)^2}\ge 0 \le \frac{(x-1)^2(x+1)}{(x^2-3)^2}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{(x-1)^2(x+1)}{(2^{x^2}-2^3)^2}\ge 0 \le $$
$$\le \frac{(x-1)^2(x+1)}{(x^2-3)^2}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \frac{(x-1)^2(x+1)}{(x-\sqrt{3})^2(x+\sqrt{3})^2}\le 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} x\lt-\sqrt{3}, \\ -\sqrt{3}\lt x\le-1, \\ x=1. \end{gathered}\right.$$
Ответ: $(-\infty;-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3};-1]\cup\{1\}.$
Ответ
$$(-\infty;-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3};-1]\cup\{1\}$$
Задача 16
$15$ декабря $2026$ года планируется взять кредит в банке на сумму $18$ миллионов рублей на $60$ месяцев. Условия его возврата таковы:
— $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
— $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
— к $15$ декабря $2031$ года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно $r,$ если общая сумма платежей в $2031$ году составила $3951$ тысячу рублей?
Решение
Сумма кредита составляет $18$ млн руб., срок — $60$ месяцев, а каждый месяц сумма долга уменьшается равномерно, поэтому ежемесячный платеж в счет погашения основного долга будет равен $0,3$ млн руб. Составим график погашения кредита:
|
Номер месяца
|
Долг млн руб.
|
Часть платежа в уплату долга, млн руб.
|
Проценты, млн руб.
|
|---|---|---|---|
Общая сумма платежей в $2031$ году равна сумме платежей с $49$ по $60$ месяцы. Зная эту сумму, находим $r$:
$$0,3\cdot 12+3,6\cdot \frac{r}{100}+3,3\cdot \frac{r}{100}+…+0,3\cdot \frac{r}{100}=3,951\Leftrightarrow $$
$$0,3\cdot 12+3,6\cdot \frac{r}{100}+3,3\cdot \frac{r}{100}+…$$
$$…+0,3\cdot \frac{r}{100}=3,951\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 3,6+\frac{r}{100}(3,6+3,3+…+0,3)=3,951\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 3,6+\frac{r}{100}(3,6+3,3+…+0,3)=$$
$$=3,951\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 3,6+\frac{r}{100}\cdot \frac{3,6+0,3}{2}\cdot 12=3,951\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 3,6+\frac{r}{100}\cdot \frac{3,6+0,3}{2}\cdot 12=3,951\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 3,6+0,234r=3,951\Leftrightarrow 0,234r=0,351\Leftrightarrow r=1,5.$$
$$\Leftrightarrow 3,6+0,234r=3,951\Leftrightarrow 0,234r=$$
$$=0,351\Leftrightarrow r=1,5.$$
Ответ: $1,5$.
Ответ
$1,5$
Задача 17
Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону $AD$ в точке $M.$ Диагонали $AC$ и $B D$ параллелограмма пересекаются в точке $O.$ Окружность, описанная вокруг треугольника $ABM,$ касается прямых $BC$ и $OM.$
а) Докажите, что $AB\bot BD.$
б) Отрезки $AC$ и $BM$ пересекаются в точке $K.$ Найдите площадь четырехугольника $KODM,$ если $OM = 2.$
Решение
а) По свойству угла между касательной и хордой получаем, что угол $CBM$ равен углу $BAM$ и угол $OMB$ равен углу $BAM.$ Кроме того, угол $CBM$ равен углу $BMA$ как накрест лежащие, а угол $ABM$ равен углу $CBM,$ поскольку отрезок $BM$ — биссектриса. Отсюда
$$\angle BAM=\angle ABM=\angle AMB=\angle CBM=\angle OMB=60^\circ.$$
$$\angle BAM=\angle ABM=\angle AMB=.$$
$$=\angle CBM=\angle OMB=60^\circ.$$
Отрезок $OM$ — средняя линия треугольника $ABD,$ поскольку прямая $OM$ параллельна прямой $AB$ и отрезок $BO$ равен отрезку $OD,$ значит, отрезки $AM,$ $BM$ и $MD$ равны. Откуда угол $ABD$ равен $90^\circ.$
б) Угол $ODM$ равен $180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$ Следовательно, $MD=2OM=4.$ По теореме Менелая для треугольника $BMD$ и секущей $OK$ получим:
$$\frac{OD}{OB}\cdot \frac{BK}{KM}\cdot \frac{MA}{AD}=1 \Leftrightarrow 1\cdot \frac{BK}{KM}\cdot \frac{1}{2}=1\Leftrightarrow \frac{BK}{KM}=2.$$
$$\frac{OD}{OB}\cdot \frac{BK}{KM}\cdot \frac{MA}{AD}=1 \Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 1\cdot \frac{BK}{KM}\cdot \frac{1}{2}=1\Leftrightarrow \frac{BK}{KM}=2.$$
Следовательно, $\frac{BK}{BM}=\frac{2}{3}.$
Площадь треугольника $BKO$ равна $S_{BKO}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot S_{BMD}.$ Найдем площадь четырехугольника $KODM:$
$$S_{KODM}=\frac{2}{3}\cdot S_{BMD}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot sin~120^\circ=\frac {8\sqrt{3}}{3}.$$
$$S_{KODM}=\frac{2}{3}\cdot S_{BMD}=$$
$$=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot sin~120^\circ=\frac {8\sqrt{3}}{3}.$$
Ответ: б) $\frac {8\sqrt{3}}{3}.$
Ответ
$$\text{б)}~\frac {8\sqrt{3}}{3}.$$
Задача 18
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение
$$(|x-a-2|+|x-a+2|)^2-a(|x-a-2|+|x-a+2|)+a^2-64=0$$
$$(|x-a-2|+|x-a+2|)^2-$$
$$-a(|x-a-2|+|x-a+2|)+a^2-64=0$$
Решение
Пусть $t=|x-a-2|+|x-a+2|,$ тогда $t^2-at+(a^2-64)=0.$ Раскроем модули:
$$\begin{cases} -x+a+2-x+a-2,~\text{при}~x\le a-2, \\ -x+a+2+x-a+2, ~\text{при}~a-2\lt x\lt a+2, \\ x-a-2+x-a+2, ~\text{при}~x\ge a+2 \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow\begin{cases} -2x+2a, ~~~\text{при}~~~x\le a-2, \\ 4, ~~~\text{при}~~~a-2\lt x\lt a+2, \\ 2x-2a, ~~~\text{при}~~~x\ge a+2. \end{cases}$$
$$\begin{cases} -2x+2a, ~~~\text{при}~~~x\le a-2, \\ 4, ~~~\text{при}~~~a-2\lt x\lt a+2, \\ 2x-2a, ~~~\text{при}~~~x\ge a+2. \end{cases}$$
Построим график функции $t.$ Заметим, что значения $t\lt 4$ не дают решений исходного уравнения, значение $t=4$ дает бесконечно много решений, а каждое значение $t\gt 4$ дает два решения исходного уравнения.
Чтобы исходное уравнение имело два решения, квадратное уравнение $t^2-a\cdot t+(a^2-64)=0$ должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа $4,$ либо должно иметь единственное решение, большее чем $4.$ Рассмотрим эти случаи.
Случай 1. Функция $f(t)=t^2-a\cdot t+(a^2-64)$ задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение $f(t)=0$ имеет два различных корня, лежащих по разные стороны от числа $4,$ тогда и только тогда, когда значение функции $f$ в точке $4$ отрицательно:
$$16-4a+a^2-64\lt 0\Leftrightarrow a^2-4a-48\lt 0\Leftrightarrow $$
$$16-4a+a^2-64\lt 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow a^2-4a-48\lt 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 2-2\sqrt{13}\lt a\lt2+2\sqrt{13}.$$
Случай 2. Уравнение $f(t)=0$ имеет единственное решение, большее чем $4,$ если и только если выполнена система условий $D=0$ и $t_{верш.}\gt 4.$ Имеем:
$$\begin{cases} a^2-4a^2+256=0, \\ \frac{a}{2}\gt 4 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 3a^2=256, \\ a\gt 8 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=\pm\frac{16\sqrt{3}}{3}, \\ a\gt 8 \end{cases}\Leftrightarrow a=\frac{16\sqrt{3}}{3}.$$
$$\begin{cases} a^2-4a^2+256=0, \\ \frac{a}{2}\gt 4 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 3a^2=256, \\ a\gt 8 \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} a=\pm\frac{16\sqrt{3}}{3}, \\ a\gt 8 \end{cases}\Leftrightarrow a=\frac{16\sqrt{3}}{3}.$$
Ответ: $(2-2\sqrt{13};2+2\sqrt{13})\cup \left\{ \frac{16\sqrt{3}}{3} \right\}.$
Ответ
$$(2-2\sqrt{13};2+2\sqrt{13})\cup \left\{ \frac{16\sqrt{3}}{3} \right\}$$
Задача 19
На доске написано $10$ различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.
а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа $563$ и $1417?$
б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число $563?$
в) Найдите минимальное $n,$ при котором на доске одновременно записаны числа $1$ и $n^2.$
Решение
Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на $4$ или $7:$ если взять три или шесть других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна $4$ или $7,$ значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух чисел кратна $4$ и $7,$ а потому и их наименьшему общему кратному — $28.$ Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на $28.$ Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма четырех или семи из них будет кратна $4$ или $7.$
а) Число $563$ при делении на $28$ дает остаток $3,$ а число $1417$ — остаток $17,$ поэтому они не подходят.
б) Заметим, что квадраты четных чисел кратны $4,$ а квадраты нечетных представимы в виде $(4x\pm 1)^2=16x^2\pm8x+1.$ Следовательно, $n^2$ не может при делении на $4$ давать остаток $3,$ а именно такой остаток дает число $563.$
в) Нужно, чтобы $n^2$ и $n$ давали одинаковые остатки при делении на $28,$ то есть чтобы $n^2-n=n(n-1)$ было кратно $28.$ Число $1$ является наименьшим натуральным числом и удовлетворяет этому условию. В качестве остальных девяти чисел можно взять числа
$$1,~~~29=28\cdot 1+1,~~~57=29\cdot 2+1,~~~85=29\cdot 3+1~~~…,$$
$$1,$$
$$29=28\cdot 1+1,$$
$$57=29\cdot 2+1,$$
$$85=29\cdot 3+1~~~…,$$
дающие при делении на $28$ остаток $1.$
Ответ: a) нет; б) нет; в) $1$.
Примечание.
Проверяющим ЕГЭ экспертам были присланы решения, подразумевающие, что число и его квадрат должны быть различными. В этом случае наименьшим искомым числом является $13.$ Приведем соответствующее рассуждение.
в) Требуется, чтобы $n^2$ при делении на $28$ также давало в остатке $1,$ то есть чтобы $n^2-1=(n-1)(n+1)$ было кратно $28$. Заметим, что один из множителей должен быть четным, что повлечет за собой четность второго, поскольку они отличаются на $2.$ Более того, один из множителей должен нацело делиться на $7.$ Минимальное натуральное четное число, кратное $7$ — это $14,$ откуда $n=13.$ В качестве примера можно выбрать числа $1, 169=13^2$ и еще $8$ любых других чисел, дающих при делении на $28$ остаток $1.$
Ответ
a) нет; б) нет; в) $1$.
|
Ответы
|
|---|
|
$74$
|
|
$10$
|
|
$6$
|
|
$0,25$
|
|
$0,0296$
|
|
$8,75$
|
|
$2$
|
|
$1$
|
|
$1$
|
|
$15$
|
|
$10$
|
|
$-4$
|
|
$$\text{а)}~\left\{ -\frac{2\pi}{3}+2\pi k;-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k:k\in \mathbb{Z} \right\};$$
$$\text{б)}~-\frac{7\pi}{2},~-\frac{8\pi}{3}.$$
|
|
$$\text{б)}~\frac{\sqrt{21}}{7}$$
|
|
$$(-\infty;-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3};-1]\cup\{1\}$$
|
|
$1,5$
|
|
$$\text{б)}~\frac {8\sqrt{3}}{3}.$$
|
|
$$(2-2\sqrt{13};2+2\sqrt{13})\cup \left\{ \frac{16\sqrt{3}}{3} \right\}$$
|
|
a) нет; б) нет; в) $1$.
|