ЕГЭ по математике 2025. Досрочная волна. Центр.
Задача 1
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $12.$ Точка $E$ — середина стороны $AD.$ Найдите площадь трапеции $BCDE.$
Решение
Пусть $h$ — высота параллелограмма $ABCD,$ тогда его площадь равна $S_{ABCD}=AD\cdot h=12.$ Площадь трапеции $BCDE$ равна
$$S_{BCDE}=\frac{ED+BC}{2}\cdot h=\frac{\frac{3}{2}AD}{2}\cdot h=\frac{3}{4}AD\cdot h=\frac{3}{4}\cdot 12=9.$$
$$S_{BCDE}=\frac{ED+BC}{2}\cdot h=\frac{\frac{3}{2}AD}{2}\cdot h=$$
$$=\frac{3}{4}AD\cdot h=\frac{3}{4}\cdot 12=9.$$
Ответ: $9$.
Ответ
$9$
Задача 2
Даны векторы $\vec{a}=(3;1),$ $\vec{b}=(2;-6).$ Найдите значение выражения $(\vec{a}+\vec{b})(5\vec{a}-\vec{b}).$
Решение
$$\vec{a}+\vec{b}=(3+2;1-6)=(5;-5),$$
$$5\vec{a}-\vec{b}=(5\cdot 3-2;5\cdot 1+6)=(13;11),$$
$$(\vec{a}+\vec{b})(5\vec{a}-\vec{b})=5\cdot 13-5\cdot 11=10.$$
Ответ: $10$.
Ответ
$10$
Задача 3
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны $5.$ Найдите объем параллелепипеда.
Решение
Высота параллелепипеда равна высоте вписанного в него цилиндра. Основанием параллелепипеда является квадрат, сторона которого в два раза больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому площадь основания равна $100,$ а объем параллелепипеда равен
$$V_{\textnormal{п}}=S_{\textnormal{осн}}\cdot H=100\cdot 5=500.$$
Ответ: $500$.
Ответ
$500$
Задача 4
Решение
Обозначим $«1»$ ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Стартером», другую сторону монеты обозначим $«0».$ Тогда благоприятная комбинация одна: $001,$ а всего комбинаций $2^3 = 8: 000,$ $001,$ $010,$ $011,$ $100,$ $101,$ $110,$ $111.$ Тем самым, искомая вероятность равна:
$$\frac{1}{8}=0,125.$$
Ответ: $0,125$.
Ответ
$0,125$
Задача 5
Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна $0,5.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение
Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: $0,5\cdot 0,5=0,25.$
Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна $1-0,25=0,75.$
Ответ: $0,75$.
Ответ
$0,75$
Задача 6
Найдите корень уравнения $log_7(4-x)=2.$
Решение
Последовательно получаем:
$$log_7(4-x)=2\Leftrightarrow 4-x=7^2\Leftrightarrow 4-x=49\Leftrightarrow x=-45.$$
$$log_7(4-x)=2\Leftrightarrow 4-x=7^2\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 4-x=49\Leftrightarrow x=-45.$$
Ответ: $-45$.
Ответ
$-45$
Задача 7
Найдите $5~cos~2\alpha,$ если $sin~\alpha=-0,9.$
Решение
Используем формулу косинуса двойного угла $cos~2\alpha=1-2~sin^2~\alpha.$ Имеем:
$$5~cos~2\alpha=5\cdot (1-2\cdot 0,81)=5\cdot (-0,62)=-3,1.$$
$$5~cos~2\alpha=5\cdot (1-2\cdot 0,81)=$$
$$=5\cdot (-0,62)=-3,1.$$
Ответ: $-3,1$.
Ответ
$-3,1$
Задача 8
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ производной функции $f(x)$ и восемь точек на оси абсцисс: $x_1,~x_2,~x_3,~…,~x_8.$ В скольких из этих точек функция $f(x)$ убывает?
Решение
Убыванию дифференцируемой функции $f(x)$ соответствуют неположительные значения её производной. Производная неположительна в точках $x_1,~x_2,~x_3,~x_4,~x_8:$ точки лежат ниже оси абсцисс, их ординаты отрицательны. Таких точек $5.$
Ответ: $5$.
Ответ
$5$
Задача 9
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0=100$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=32$ км/ч$^2$. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S=v_0t+\frac{at^2}{2},$ где $t$ — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $150$ км от города. Ответ дайте в минутах.
Решение
Мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если $S\le 150$ км. Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства $S\le 150$ при заданных значениях параметров $v_0$ и $a:$
$$S\le 150 \Leftrightarrow 16t^2+100t\le150\Leftrightarrow 8t^2+50t-75\le 0\Leftrightarrow-\frac{15}{2}\le t\le \frac{5}{4},$$
$$S\le 150 \Leftrightarrow 16t^2+100t\le150\Leftrightarrow $$
то есть $-7\le t\le 1.$ Учитывая, что время — неотрицательная величина, получаем $t\le \frac{5}{4}$ ч, то есть $t\le 75$ мин.
Ответ: $75$.
Ответ
$75$
Задача 10
Один мастер может выполнить заказ за $15$ часов, а другой — за $10$ часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
Решение
Обозначим выполняемую работу за $1.$ Скорость работы первого мастера $1/15$ работы в час, а второго — $1/10$ работы в час. Время работы равно отношению объёма к скорости её выполнения. Поэтому два мастера, работая вместе, выполнят заказ за
$$\frac{1}{\frac{1}{15}+\frac{1}{10}}=\frac{30}{2+3}=6~\textnormal{часов}.$$
Ответ: $6$.
Ответ
$6$
Задача 11
На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=a\sqrt{x}$ и $g(x)=kx,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$
Решение
По графику $f(1)=3,$ то есть $3=a\sqrt{1},$ откуда $a=3.$ Тогда уравнение функции имеет вид $f(x)=3\sqrt{x}.$
Заметим, что $k$ — тангенс угла наклона прямой. Следовательно, $k=\frac{1}{2}$ и $g(x)=\frac{1}{2}x.$
Теперь найдем абсциссу точки $A:$
$$\begin{cases} y=3\sqrt{x}, \\ y=\frac{1}{2}x \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{2}x=3\sqrt{x}, \\ y=\frac{1}{2}x \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} x-6\sqrt{x}=0, \\ y=\frac{1}{2}x\end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered}\sqrt{x}=0, \\ \sqrt{x}=6, \end{gathered} \right. \\ y=\frac{1}{2}x \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x=0, \\ y=0,\end{cases}\\ \begin{cases} x=36, \\ y=18.\end{cases}\end{gathered} \right.$$
Очевидно, точка $(0; 0)$ — это точка $A.$ Искомая абсцисса точки $B:~x=36.$
Ответ: $36$.
Ответ
$36$
Задача 12
Найдите точку минимума функции $y=(2x^2-38x+38)e^{x-25}.$
Решение
$$y’=(2x^2-38x+38)’e^{x-25}+(2x^2-38x+38)(e^{x-25})’=$$
$$y’=(2x^2-38x+38)’e^{x-25}+$$
$$+(2x^2-38x+38)(e^{x-25})’=$$
$$=(4x-38)e^{x-25}+(2x^2-38x+38)e^{x-25}=$$
$$=(4x-38)e^{x-25}+$$
$$+(2x^2-38x+38)e^{x-25}=$$
Искомая точка минимума $x=17.$
Ответ: $17$.
Ответ
$17$
Задача 13
а) Решите уравнение $2~sin^2~x+\sqrt2~sin(2\pi-x)+\sqrt3~sin~2x=\sqrt6~cos~x.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\pi;\frac{\pi}{2} \right].$
Решение
$$2~sin^2~x+\sqrt2~sin(2\pi-x)+\sqrt3~sin~2x=\sqrt6~cos~x\Leftrightarrow $$
$$2~sin^2~x+\sqrt2~sin(2\pi-x)+$$
$$+\sqrt3~sin~2x=\sqrt6~cos~x\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 2~sin^2~x-\sqrt2~sin~x+2\sqrt3~sin~x~cos~x-\sqrt6~cos~x=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow 2~sin^2~x-\sqrt2~sin~x+$$
$$+2\sqrt3~sin~x~cos~x-\sqrt6~cos~x=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow sin~x(2~sin~x-\sqrt2)+\sqrt3~cos~x(2~sin~x-\sqrt2)=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow sin~x(2~sin~x-\sqrt2)+$$
$$+\sqrt3~cos~x(2~sin~x-\sqrt2)=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow (2~sin~x-\sqrt2)(sin~x+\sqrt3~cos~x)=0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} sin~x=\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ tg~x=-\sqrt3 \end{gathered} \right.\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=\frac{\pi}{4}+2\pi k, \\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k, \\ x=-\frac{\pi}{3}+\pi k, \end{gathered} \right. ~~~k\in\mathbb{Z}.$$
б) Отберем корни с помощью единичной окружности (см. рис.). Отрезку принадлежат корни $\frac{\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{3}.$
Ответ: а) $\left\{ \frac{\pi}{4}+2\pi k;~\frac{3\pi}{4}+2\pi k;~-\frac{\pi}{3}+\pi k:k\in\mathbb{Z} \right\},$ б) $\frac{\pi}{4},-\frac{\pi}{3}.$
Ответ
$$\textnormal{а)}\left\{ \frac{\pi}{4}+2\pi k;~\frac{3\pi}{4}+2\pi k;~-\frac{\pi}{3}+\pi k:k\in\mathbb{Z} \right\},~\textnormal{б)}~\frac{\pi}{4},~-\frac{\pi}{3}.$$
Задача 14
В правильной треугольной призме сторона $AB$ основания равна $2,$ точка $M$ — середина ребра $CC_1.$
а) Докажите, что сечение $A_1MB$ — равнобедренный треугольник.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна $6.$
Решение
а) Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники, поэтому треугольники $A_1C_1M$ и $BCM$ равны по двум катетам. Тогда как соответствующие элементы равных фигур равны стороны $A_1M$ и $BM,$ то есть треугольник $A_1MB$ — равнобедренный.
б) Пусть $AA_1=2x,$ тогда по теореме Пифагора:
$A_1M=BM=\sqrt{x^2+4},$ $A_1B=\sqrt{4x^2+4}.$
Пусть отрезок $MH$ — высота треугольника $A_1MB.$ Последовательно получаем:
$$A_1H=HB=\frac{A_1B}{2}=\sqrt{x^2+1},$$
$$MH=\sqrt{x^2+4-x^2-1}=\sqrt3,$$
$$S_{A_1MB}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt3\cdot \sqrt{4x^2+4}=6.$$
Следовательно, $\sqrt{3(x^2+1)}=6,$ откуда $x^2+1=12$ и $x=\sqrt{11}.$ Значит, высота призмы равна $2\sqrt{11}.$
Ответ: $2\sqrt{11}$.
Ответ
$2\sqrt{11}$
Задача 15
Решите неравенство
$$7log_{12}(x^2-13x+42)\le 8+log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}.$$
Решение
Неравенство определено при $x\lt 6$ и при $x\gt 7.$ При $x\gt 7$ находим:
$$\begin{cases} x\gt 7, \\ log_{12}((x-6)(x-7))^7\le 8+log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6} \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\begin{cases} x\gt 7, \\ 7log_{12}(x-6)+7log_{12}(x-7)\le 8+7log_{12}(x-7)-log_{12}(x-6) \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\begin{cases} x\gt 7, \\ 7log_{12}(x-6)+7log_{12}(x-7)\le 8+7log_{12}(x-7)-log_{12}(x-6) \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\begin{cases} x\gt 7, \\ log_{12}(x-6)\le 1\end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\begin{cases} x\gt 7, \\ 0\lt x-6\le 12 \end{cases}\Leftrightarrow 7\lt x\le 18.$$
При $x\lt 6$ находим:
$$\begin{cases} x\lt 6, \\ 7log_{12}(6-x)+7log_{12}(7-x)\le 8+7log_{12}(7-x)-log_{12}(6-x) \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\begin{cases} x\lt 6, \\ 7log_{12}(6-x)+7log_{12}(7-x)\le 8+7log_{12}(7-x)-log_{12}(6-x) \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\begin{cases} x\lt 6, \\ log_{12}(6-x)\le 1 \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\begin{cases} x\lt 6, \\ 0\lt 6-x\le 12 \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\begin{cases} x\lt 6, \\ -6\le x\lt 6 \end{cases}\Leftrightarrow -6\le x\lt 6.$$
Объединяя найденные результаты, получаем ответ: $[-6;6)\cup(7;18].$
Приведем другое решение:
$$7log_{12}(x^2-13x+42)\le 8+log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}\Leftrightarrow $$
$$7log_{12}(x^2-13x+42)\le $$
$$\le 8+log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}\Leftrightarrow $$
$$log_{12}((x-6)^7(x-7)^7)-log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}\le8\Leftrightarrow $$
$$log_{12}((x-6)^7(x-7)^7)- $$
$$-log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}\le8\Leftrightarrow $$
$$\begin{cases} log_{12}(x-6)^8\le 8, \\ (x-6)^7(x-7)^7\gt 0 \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\begin{cases} log_{12}(x-6)^2\le 2, \\ (x-6)(x-7)\gt 0 \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\begin{cases} (x-6)^2\le 12^2, \\ (x-6)(x-7)\gt 0 \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\begin{cases} (x+6)(x-18)\le 0, \\ (x-6)(x-7)\gt 0 \end{cases}\Leftrightarrow $$
$$\left[ \begin{gathered}-6\le x\lt 6, \\ 7\lt x\le 18.\end{gathered} \right.$$
Ответ: $[-6;6)\cup(7;18]$.
Ответ
$[-6;6)\cup(7;18]$
Задача 16
Строительство нового завода стоит $100$ млн руб. Затраты на производство $x$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5x^2+x+7$ млн руб. в год. Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. руб. за единицу, то прибыль фирмы (в млн руб.) за один год составит $px-(0,5x^2+x+7).$ Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не более, чем за $4$ года?
Решение
$$px-(0,5x^2+x+7)\ge 25,$$
$$p\ge \frac{0,5x^2+x+32}{x}=0,5x+\frac{32}{x}+1\ge $$
$$\ge 2\sqrt{0,5x\cdot\frac{32}{x}}+1=2\sqrt{16}+1=9.$$
Удостоверимся, что это значение параметра достигается, то есть существует количество продукции $x,$ при котором достигается эта цена:
$$9x-(0,5x^2+x+7)\ge 25\Leftrightarrow x^2-16x+64\le 0\Leftrightarrow $$
$$9x-(0,5x^2+x+7)\ge 25\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow x^2-16x+64\le 0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow (x-8)^2\le 0 \Leftrightarrow x=8.$$
Тем самым, при $p=9$ (цене $9$ тыс. руб) и $x=8$ (производстве $8$ тыс. единиц продукции), завод окупится за четыре года.
Ответ: $p=9$.
Ответ
$p=9$
Задача 17
Дана трапеция с диагоналями равными $5$ и $12.$ Сумма оснований равна $13.$
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.
Решение
а) Проведем отрезок $CC_1$, параллельный $BD,$ четырехугольник $BCC_1D$ — параллелограмм. В треугольнике $ACC_1:$
$AC=12,~CC_1=BD=5,~AC_1=13.$
Заметим, что $AC^2+CC_1^2=144+25=AC_1^2,$ следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ACC_1$ — прямоугольный с прямым углом $ACC_1.$ Тогда $\angle COD=90^\circ,$ что и требовалось доказать.
$$S_{ABCD}=S_{ACC_1}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30.$$
$$S_{ABCD}=S_{ACC_1}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=$$
$$=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30.$$
Ответ: $30$.
Ответ
б) $30$
Задача 18
Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение $x^4+(a-3)^2=|x-a+3|+|x+a-3|$ либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Решение
Пусть $a-3=b,$ тогда:
$$x^4+b^2=|x-b|+|x+b|~~~(*).$$
Случай 1: уравнение $(*)$ имеет единственное решение. Это уравнение не изменяется при замене $x$ на $−x,$ а потому если число $x_0$ является решением этого уравнения, то и число $-x_0$ также является его решением. Чтобы уравнение имело единственное решение, оно должно иметь корень $x=0$ и не должно иметь других корней. Полагая $x=0,$ находим:
$$b^2=2|b|\Leftrightarrow |b|\cdot (|b|-2)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} b=0, \\ b=\pm 2. \end{gathered} \right.$$
Осталось проверить, имеет ли уравнение другие корни, при найденных значениях $b.$ При $b=0$ уравнение принимает вид $x^4=2|x|$ и имеет три различных решения: $x=-\sqrt[3]{2},$ $x=0,$ $x=\sqrt[3]{2},$ поэтому $b=0$ не подходит. Если $b=\pm 2,$ то
$$x^4+4=|x-2|+|x+2|.$$
Раскроем модули: на отрезке $[0; 2]$ уравнение принимает вид $x^4+4=4$ и имеет единственное решение $x=0.$ При $x\gt 2$ получаем: $x^4+4=2x.$ Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим заключаем, что
$x^4+4\ge 2\sqrt{x^4\cdot 4}=4x^2\gt 2x$ при $x\gt2.$
Тем самым при $|b|=2$ уравнение не имеет положительных корней, а потому в силу четности левой и правой частей уравнения, не имеет и отрицательных корней, то есть имеет единственный корень $x=0.$
Случай 2: уравнение $(*)$ не имеет решений. Поскольку значения $|b|=0$ и $|b|=2$ уже разобраны, осталось рассмотреть значения $|b|\gt 2$ и $0\lt |b|\lt 2.$ Обозначим $f(x)=x^4+b^2.$
$$g(x)=|x-b|+|x+b|=\begin{cases} 2|x|~\textnormal{при}~|x|\ge |b|, \\ 2|b|~\textnormal{при}~|x|\lt |b|.\end{cases}$$
$$g(x)=|x-b|+|x+b|=$$
$$=\begin{cases} 2|x|~\textnormal{при}~|x|\ge |b|, \\ 2|b|~\textnormal{при}~|x|\lt |b|.\end{cases}$$
Рассмотрим случай $|b|\gt 2.$ Если $|x|\ge |b|\gt 2,$ то
$$f(x)=x^4+b^2\gt x^4=|x|\cdot x^2\cdot |x|\ge 2\cdot x^2\cdot |b|\gt2|x|=g(x),$$
$$f(x)=x^4+b^2\gt x^4=|x|\cdot x^2\cdot |x|\ge$$
$$\ge 2\cdot x^2\cdot |b|\gt2|x|=g(x),$$
то есть уравнение решений не имеет. Если $|x|\lt |b|,$ то
$$f(x)=x^4+b^2\ge b^2\gt 2|b|=g(x),$$
Рассмотрим случай $0\lt |b|\lt 2.$ В этом случае верны неравенства $f(0)\lt g(0)$ и $f(2)\gt g(2),$ так как $b^2\lt2|b|$ и $16+b^2\gt 4.$ Значит, уравнение $f(x)=g(x)$ имеет решения отличные от нуля, то есть решений больше одного.
Таким образом, уравнение $(*)$ имеет единственное решение или не имеет решений при $b\le -2$ и $b\ge 2,$ то есть при $a\le 1$ и $a\ge 5.$
Ответ: $a\le 1,~a\ge 5$.
Ответ
$a\le 1,~a\ge 5.$
Задача 19
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или $5$ писем, или $16$ писем, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно $7$ писем
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Решение
Пусть $a$ юношей отправили по $5$ писем и $b$ юношей отправили по $16$ писем. Тогда количество девушек $a+b,$ количество отправленных писем $5a+16b.$
а) Спрашивается, имеет ли уравнение $5a+16b=7(a+b)$ решение. Запишем его в виде $2a=9b.$ Ясно, что числа $a=9$ и $b=2$ являются одним из решений. То есть если $9$ юношей отправили по $5$ писем и двое юношей отправили по $16$ писем, то всего они отправили $77$ писем, которые можно распределить между $11$ девушками так, чтобы каждая получила ровно $7$ писем.
б) Общее количество писем $5a+16b$ должно делиться на количество девушек $a+b$ без остатка. Заметим, что тогда в силу тождества $11b=(5a+16b)-5(a+b),$ число $11b$ также должно делиться на $a+b.$ Если $a+b$ не делится на $11,$ то $b$ делится на $a+b,$ что противоречит условиям $a\gt 1,$ $b\gt 1.$ Значит, $a+b$ делится на $11.$ Наименьшее натуральное число, делящееся на $11,$ — это $11.$ Пример того, что девушек может быть ровно $11,$ приведён в предыдущем пункте.
в) Пусть $a$ юношей отправили по $5$ писем и $n-a$ юношей отправили по $16$ писем. Тогда суммарно они отправили $5a+16(n-a)$ писем, а число полученных девушками писем не меньше
$$0+1+…+(n-2)+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}.$$
$$0+1+…+(n-2)+(n-1)=$$
$$=\frac{n(n-1)}{2}.$$
Получаем
$$5a+16(n-a)\ge \frac{n(n-1)}{2},$$
откуда
$$16n\gt\frac{n(n-1)}{2},$$
то есть $n\lt 33.$
При $n=32$ имеем $512-11a\ge 496,$ откуда $11a\le 16,$ что противоречит условию $a\ge 2.$
Если $n=31,$ $a=2,$ то суммарное количество отправленных писем равно $2\cdot 5+29\cdot 16=474.$ Эти письма можно распределить между девушками следующим образом: $30$ девушек получили от $0$ до $29$ писем и ещё одна — $39.$ Таким образом, наибольшее возможное количество девушек — это $31.$
Ответ: а) да, б) $11$, в) $31$.
Ответ
а) да, б) $11$, в) $31$.
|
Ответы
|
|---|
|
$9$
|
|
$10$
|
|
$500$
|
|
$0,125$
|
|
$0,75$
|
|
$-45$
|
|
$-3,1$
|
|
$5$
|
|
$75$
|
|
$6$
|
|
$36$
|
|
$17$
|
|
$$\textnormal{а)}\left\{ \frac{\pi}{4}+2\pi k;~\frac{3\pi}{4}+2\pi k;~-\frac{\pi}{3}+\pi k:k\in\mathbb{Z} \right\},$$$$\textnormal{б)}~\frac{\pi}{4},~-\frac{\pi}{3}.$$
|
|
$2\sqrt{11}$
|
|
$[-6;6)\cup(7;18]$
|
|
$p=9$
|
|
б) $30$
|
|
$a\le 1,~a\ge 5.$
|
|
а) да, б) $11$, в) $31$.
|