Справочный материал по стереометрии
Прямые и плоскости
1) Параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей.
Параллельные прямые в пространстве — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся.
Скрещивающиеся прямые — прямые, не лежащие в одной плоскости.
Прямые $m$ и $l$ являются скрещивающимися, если одна из них, например прямая $m$, лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, не лежащей на прямой $m$ (рис. 32.1).
Рис. 32.1
Рис. 32.2
Угол между пересекающимися прямыми — наименьший из углов, образуемых этими прямыми.
Угол между скрещивающимися прямыми $m$ и $l$ — угол между пересекающимися прямыми $m_1$ и $l_1$, где $m_1~||~m$, $l_1~||~l$.
Перпендикулярные прямые в пространстве — прямые, угол между которыми равен 90$^\circ$.
Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых — отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
Расстояние между скрещивающимися прямыми $m$ и $l$ — длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию $AB$ между одной из этих прямых (на рис. 32.2 — это прямая $m$) и плоскостью $\alpha$, проходящей через другую прямую $l$ параллельно первой.
Прямая, параллельная плоскости $\alpha$ — прямая, не имеющая общих точек с плоскостью $\alpha$.
Параллельные плоскости — плоскости, не имеющие общих точек (непересекающиеся плоскости).
2) Теоремы о параллельности прямых и плоскостей.
а) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
б) Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
в) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в ней.
г) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то получившиеся две линии пересечения параллельны.
Рис. 32.3
Рис. 32.4
3) Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.
Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, перпендикулярная любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Перпендикуляр, проведенный из точки $A$ к плоскости $\alpha$ (рис. 32.3) — отрезок $AB$, где $B$ — точка пересечения плоскости $\alpha$ и прямой $m$, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной плоскости $\alpha$.
Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ — длина отрезка $AB$ (рис. 32.3).
Наклонная, проведенная из точки $A$ к плоскости $\alpha$ — отрезок $AC$ прямой $l$ (рис. 32.3), проведенной через точки $A$ и $C$, где $C\in \alpha$, $C\neq B$; отрезок $BC$ — проекция наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$.
Проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$ — основание перпендикуляра, проведенного из точки $A$ (рис. 32.3) к плоскости $\alpha$ (точка $B$).
Угол между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$ — угол $\varphi$ между этой прямой и ее проекцией $BC$ на плоскость (рис. 32.3). Этот угол считается равным нулю, если прямая параллельна плоскости, и равным 90$^\circ$, если прямая перпендикулярна плоскости.
Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общей границей $l$ (рис. 32.4) ; грани двугранного угла — полуплоскости $\alpha$ и $\beta$, ребро двугранного угла — прямая $l$.
Линейный угол двугранного угла — угол между полупрямыми, по которым плоскость $\gamma$, перпендикулярная ребру $l$ двугранного угла, пересекает его грани.
Градусная мера двугранного угла — градусная мера его линейного угла (этот угол может быть острым, прямым или тупым).
Перпендикулярные плоскости (взаимно перпендикулярные) — пересекающиеся плоскости, угол между которыми равен 90$^\circ$ (все двугранные углы, образуемые этими плоскостями, равны 90$^\circ$).
Рис. 32.5
Рис. 32.6
Две пересекающиеся плоскости перпендикулярны, если третья плоскость, перпендикулярная линии их пересечения, пересекает их по перпендикулярным прямым.
4) Теоремы о перпендикулярности прямых и плоскостей.
а) Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
б) Для того, чтобы прямая $m$, лежащая в плоскости $\alpha$ (рис. 32.5), была перпендикулярна наклонной $AC$, необходимо и достаточно, чтобы прямая $m$ была перпендикулярна проекции $BC$ наклонной на плоскость $\alpha$ (теорема о трех перпендикулярах).
в) Если плоскость $\alpha$ проходит через перпендикуляр $AB$ к плоскости $\beta$ (рис. 32.6), то плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$.
г) Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ взаимно перпендикулярны, то прямая $AB$ (рис. 32.6), проведенная в плоскости $\alpha$ перпендикулярно линии пересечения $l$ плоскостей $\alpha$ и $\beta$, перпендикулярна плоскости $\beta$.
д) Если две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны плоскости $\gamma$, то и линия пересечения $l$ плоскостей $\alpha$ и $\beta$ (рис. 32.7) перпендикулярна плоскости $\gamma$.