Главная страница » Планиметрия » Лемма Архимеда

Лемма Архимеда

Задачи, связанные с касанием окружностей, вызывали интерес во все времена. Одним из первых результатов является следующая.

Окружность $\alpha$ касается хорды $MN$ окружности $\beta$ в точке $B,$ а окружности $\beta$ касается в точке $A.$ Тогда $AB$ является биссектрисой угла $MAN$ (рис. 1).

Рис. 1

Доказательство. Обозначим точку пересечения прямой $AB$ и окружности $\beta$ через $L.$ Проведём через точку $A$ общую касательную к окружностям, обозначим её через $k$ (рис. 2). $C$ – точка пересечения прямых $MN$ и $k.$ Введём обозначения для углов: $∠NAB = x,$ $∠BAM = y,$ $∠MAC = z.$ Заметим, что $∠ANM = ∠CAM = z$ (угол между касательной и хордой). По теореме о внешнем угле треугольника найдём, что $∠MBA = x + z.$ Остаётся увидеть, что треугольник $CAB$ равнобедренный с основанием $AB,$ следовательно, $∠CAB = ∠CBA,$ т.е. $z + y = z + x \Rightarrow x = y.$

Упр. 1. Как «залатать» доказательство, если $MN||k$ ?
Упр. 2. На хорде $MN$ окружности $\beta$ отмечена точка $B.$ Постройте окружность $\alpha,$ которая касается хорды $MN$ в точке $B$ и окружности $\beta.$
Упр. 3. Докажите, что $ML2 = LB \cdot LA$ (рис. 2).

Оказывается, что лемма Архимеда даёт нам и критерий касания окружностей. Но для того, чтобы его сформулировать необходимо понятие перпендикулярных окружностей. Пусть имеются две окружности $\alpha$ и $\beta,$ которые пересекаются в точках $E$ и $F$(рис.3).

Проведём к окружностям касательные в точке $E.$ Тогда угол между этими касательными и называют углом между окружностями $\alpha$ и $\beta.$ Если же касательные перпендикулярны друг другу, то такие окружности называют перпендикулярными. Пусть окружности $\alpha$ и $\beta,$ пересекающиеся в точках $F$ и $E,$ перпендикулярны. Тогда касательная, проведённая к окружности $\alpha$ в точке $E,$ проходит через центр окружности $\beta;$ аналогичное утверждение верно и для касательной, проведённой к окружности $\beta$ в точке $E$ (рис. 4).

Упр. 4. Докажите это.

Вернёмся к лемме Архимеда. Дополним рис. 1 следующим образом: проведём окружность с центром в точке $L$ ($L$ – середина дуги MN, которая не содержит точки A) и радиусом LM. Обозначим эту окружность через γ (рис. 5). Докажем, что окружности $\alpha$ и $\gamma$ перпендикулярны ($\alpha$ ⊥ $\gamma$). Обозначим точку пересечения $\alpha$ и $\gamma$ через $K$ (рис. 6). Из упр. 3 получаем, что $ML2 = LB · LA.$ С другой стороны, $LM = LK$ (радиусы окружности). Следовательно, $LK2 = LB · LA,$ поэтому окружность $\alpha$ касается прямой $LK.$ А раз $LK$ является касательной, то радиус окружности $\alpha$, проведённый в точку $K,$ будет перпендикулярен радиусу $LK$ окружности $\gamma.$ Откуда и следует перпендикулярность окружностей $\alpha$ и $\gamma.$

Для дальнейшего нам понадобится следующая простая.

Лемма 2.

Окружности $\alpha$ и $\alpha$ пересекаются в точках $E$ и $F.$ Окружность $\omega$ с центром на прямой $EF$ перпендикулярна окружности $\alpha.$ Докажите, что окружность $\omega$ перпендикулярна и окружности $\beta$ (рис. 7).

Для доказательства этой леммы полезно вспомнить(узнать) такое утверждение.

Упр. 5. Пусть окружности $\alpha$ ($A$ – центр, $R_a$ – радиус) и $\beta$ ($B$ – центр, $R_b$ – радиус) пересекаются в точках $E$ и $F.$ Тогда для любой точки $W,$ лежащей на прямой $EF:$

$$WA^2-R_a^2=WB^2-R_b^2.$$

Докажите также, что все точки с таким свойством лежат на прямой $EF.$

Перейдём теперь к доказательству леммы (рис. 8). Из условия леммы следует, что $WP ⊥
PA$ ($P$ – точка пересечения окружностей $\alpha$ и $\omega$), т. к. окружности $\alpha$ и $\omega$ перпендикулярны.
Из прямоугольного треугольника $APW$ находим:

$$PW^2=WA^2-AP^2.$$

C другой стороны, из упр. 5 следует, что

$$WA^2-AP^2=WB^2-BR^2.$$

Но $WP = WR$ равны, ибо радиусы одной окружности. Следовательно,

$$WR^2=WB^2-BR^2,$$

поэтому треугольник $BRW$ является прямоугольным. Отсюда заключаем, что $BR ⊥ W R.$

Откуда следует, что окружности $\beta$ и $\omega$ перпендикулярны.

Упр. 6. Окружность $\omega$ перпендикулярна каждой из двух пересекающихся (в точках $E$ и $F$) окружностей $\alpha$ и $\beta.$ Докажите, что центр окружности $\omega$ лежит на прямой $EF.$

Теперь мы можем сформулировать.

Лемма 3 (критерий Архимеда).

Пусть окружность $\alpha$ касается хорды $MN$ окружности $\beta$ в точке $B,$ а также окружность $\alpha$ перпендикулярна окружности $\gamma.$ Тогда окружность $\alpha$ касается окружности $\beta$ (рис. 9).

Доказательство. Предположим, что окружность $\alpha$ не касается окружности $\beta.$ Построим тогда окружность $\alpha’,$ которая касается окружности $\beta,$ а также касается хорды $MN$ в точке $B$ (см. упр.2) (рис. 9). Обозначим через $A$ точку касания окружности $\beta$ и окружности $\alpha’,$ а через $Q$ – точку пересечения окружностей $\alpha$ и $\alpha’$, отличную от $B.$

Мы уже знаем, что окружность $\gamma$ перпендикулярна окружности $\alpha’$ (см. рассуждение выше). С другой стороны, по условию окружности $\gamma$ и $\alpha$ также перпендикуляры. Получаем, что окружность $\gamma$ перпендикулярна каждой из окружностей $\alpha$ и $\alpha’.$ Следовательно, по упр.6 получим, что центр окружности $\gamma$ (точка $L$) обязан лежать на прямой $QB.$ Но по лемме Архимеда точка $A$ лежит на прямой $BL.$ Получаем, что точки $A$ и $Q$ совпадают, откуда и следует утверждение леммы.

2 Шестая окружность

Ежегодно на математических олимпиадах предлагаются задачи, в которых требуется установить, что какие-то четыре точки лежат на одной окружности. Сейчас мы рассмотрим одну такую.

Лемма 4 (о шестой окружности).

Через вершины $A$ и $B,$ $B$ и $C,$ $C$ и $D,$ $D$ и $A$ провели по одной окружности. $A_1,$ $B_1,$ $C_1,$ $D_1$ – точки пересечения этих окружностей (рис. 10). Докажите, что точки $A_1,$ $B_1,$ $C_1,$ $D_1$ лежат на одной окружности.

Упр. 7. Докажите лемму.

Проснувшись однажды утром после беспокойного сна, Грегор Замза обнаружил, что он у себя в постели превратился в страшное насекомое.